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2018학년도 3월 고1 전국연합학력평가 문제지

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제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: sqrt18 - 4sqrt2 + sqrt2 `]의 값은? [2점]

[출제의도] 제곱근의 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 계산한다.

[eqn: root18 -4root2 +root2][eqn: = root{3^2 times 2 } -4root2 +root2]
[eqn: = 3root2 -4root2 +root2]
[eqn: = (3-4+1)times root2]
[eqn: =0]

[참고]

① [eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때,

제곱근의 곱셈: [eqn: root a root b = root ab], [eqn: root {a^2 b} = a rootb]

제곱근의 나눗셈: [eqn: roota over root b = root{a over b}]

분모의 유리화: [eqn: roota over root b = {root a rootb} over {rootb rootb} = rootab over b]

② [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: c>0]이고, [eqn: m], [eqn: n`]이 유리수일 때,

[eqn: m root a + n roota = (m+n) roota]

[eqn: m root a - n roota = (m-n) roota]

[eqn: roota ( root b + rootc ) = rootab + rootac]

① [eqn: -2sqrt2]	② [eqn: -sqrt2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: sqrt2]	⑤ [eqn: 2sqrt2]

2. 일차부등식 [eqn: x-5` LEQ 7`]의 해 중 자연수의 개수는? [2점]

[출제의도] 일차부등식을 만족하는 자연수의 개수를 구한다.

[eqn: x-5`le`7`]에서 [eqn: x` LEQ 7+5`]이므로

[eqn: x`le`12]

그러므로 이를 만족하는 자연수는

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10], [eqn: 11], [eqn: 12`]

따라서 [eqn: 12`]개

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

12

3. [eqn: 26 ^{`2} `-24^{`2} `]의 값은? [2점]

[출제의도] 인수분해를 이용하여 주어진 식의 값을 계산한다.

[eqn: 26 ^{`2} -24 ^{`2}][eqn: = LEFT ( 26+24 RIGHT ) TIMES LEFT ( 26-24 RIGHT )]
[eqn: =50 TIMES 2]
[eqn: =100]

[참고]

① [eqn: ma+mb = m(a+b)]

② [eqn: a^2 +2ab + b^2 = (a+b)^2]
[eqn: a^2 -2ab + b^2 = (a-b)^2]

③ [eqn: a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)]

④ [eqn: x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)]

⑤ [eqn: acx^2 + (ad+bc) x + bd = (ax+b)(cx+d)]

① [eqn: 60]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 80]	④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 100]

4. [eqn: a= 2x + y], [eqn: b= x-2y`]일 때, [eqn: 2(a-b) - (a-3b)`]를 [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 식으로 나타낸 것은? [3점]

[출제의도] 다항식의 덧셈과 뺄셈을 하여 주어진 식을 간단히 한다.

[eqn: 2 LEFT ( a-b RIGHT ) - LEFT ( a-3b RIGHT )][eqn: =2a-2b-a+3b]
[eqn: =a+b]
[eqn: = LEFT ( 2x+y RIGHT ) + LEFT ( x-2y RIGHT )]
[eqn: =3x-y]

① [eqn: x-3y]	② [eqn: x-y]	③ [eqn: x+y]	④ [eqn: 3x-y]	⑤ [eqn: 3x+y]

5. 어느 농장에서 나온 달걀 [eqn: 10`]개의 무게가 다음과 같다.

(단위: [eqn: rm g])

[eqn: 45]	[eqn: 48]	[eqn: 49]	[eqn: 47]	[eqn: 43]

[eqn: 43]	[eqn: 42]	[eqn: 43]	[eqn: 41]	[eqn: 45]

이 자료의 최빈값은? [3점]

[출제의도] 주어진 자료의 최빈값을 구한다.

주어진 자료에서

[eqn: 43`\g`]이 [eqn: 3`]회, [eqn: 45`\g`]이 [eqn: 2`]회, [eqn: 41`\g], [eqn: 42`\g], [eqn: 47`\g], [eqn: 48`\g], [eqn: 49`\g`]이 각각 [eqn: 1`]회씩 나타난다.

따라서 [eqn: 43 `\g`]이 [eqn: 3`]회로 가장 많이 나타나므로

최빈값은 [eqn: 43 `\g]

① [eqn: 41 `\g]	② [eqn: 43` \g]	③ [eqn: 45 `\g]	④ [eqn: 47 `\g]	⑤ [eqn: 49 `\g]

6. 분수 [eqn: {n} over {2^{`4} times 7} `]을 소수로 나타내면 유한소수가 된다. [eqn: n`]의 값이 될 수 있는 두 자리 자연수 중 가장 작은 수는? [3점]

[출제의도] 유한소수의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

[eqn: {n} over {2 ^{`4} TIMES 7 } `]을 소수로 나타낼 때 유한소수가 되기 위해서는 기약분수로 나타내었을 때 분모의 소인수가 [eqn: 2`]나 [eqn: 5] 이외에는 없어야 한다.

[eqn: {n} over {2 ^{`4} TIMES 7 } `]의 분모의 소인수인 [eqn: 7`]이 약분되어야 하므로
[eqn: n`]은 반드시 [eqn: 7`]을 소인수로 가지고 있어야 한다.

따라서 [eqn: n`]의 값이 될 수 있는 두 자리 자연수 중
가장 작은 수는 [eqn: 7 TIMES 2=14`]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

7. 두 일차함수 [eqn: y= x+3], [eqn: y=2x-3`]의 그래프의 교점의 좌표를 [eqn: (a,``b)`]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

[출제의도] 연립방정식의 해를 이용하여 두 일차함수 그래프의 교점의 좌표를 구한다.

두 일차함수 [eqn: y=x+3], [eqn: y= 2x-3`]의 그래프의 교점의 좌표는 연립일차방정식
[eqn: {cases{``y=x+3&` CDOTS CDOTS ㉠#`^{`} y=2x-3&` CDOTS CDOTS ㉡}}]

의 해와 같다.

[eqn: ㉡-㉠`]을 하면

[eqn: 0=x-6]

[eqn: x=6] …… ㉢

㉢을 [eqn: ㉠`]에 대입하면

[eqn: y=6+3 =9]

[eqn: a=6], [eqn: b=9`]이므로

[eqn: a+b=6+9=15]

[다른 풀이]

[eqn: y=x+3`]을 [eqn: y=2x-3`]에 대입하면

[eqn: x+3=2x-3]

[eqn: x=6] …… ㉠

㉠을 [eqn: y=x+3`]에 대입하면

[eqn: y=6+3=9]

[eqn: a=6], [eqn: b=9`]이므로

[eqn: a+b=6+9=15]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

8. 이차함수 [eqn: y= x^{`2} + 2x +a`]의 최솟값이 [eqn: 4`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

[3점]

[출제의도] 이차함수의 그래프의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

[eqn: y][eqn: =x ^{`2} +2x+a]
[eqn: = (x^{`2} +2x + 1) -1 +a]
[eqn: =(x+1) ^{`2} -1+a`]

그러므로 [eqn: x=it-1`]일 때 최솟값은 [eqn: -1+a`]이다.

따라서 [eqn: -1+a=4], [eqn: a=5]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

9. [eqn: 1`]이 아닌 자연수 [eqn: n`]을 소인수분해할 때, 소인수 [eqn: 2`]가 곱해진 개수를 [eqn: A`(n)`], 소인수 [eqn: 3`]이 곱해진 개수를 [eqn: B`(n)`]이라 하자. 예를 들어, [eqn: 12=`2 ^{`2} times3`]이므로 [eqn: A`(12)=2], [eqn: B`(12)=1`]이다. [eqn: A`(180)+B`(180)`]의 값은? [3점]

[출제의도] 소인수분해를 이해하여 주어진 식의 값을 구한다.

[eqn: 180`]을 소인수분해하면 [eqn: 180][eqn: =2 ^{`2} TIMES 3 ^{`2} TIMES 5]이므로 소인수 [eqn: 2`]가 곱해진 개수는 [eqn: 2`]이고, 소인수 [eqn: 3`]이 곱해진
개수도 [eqn: 2`]이다.

따라서 [eqn: A`(180)+B`(180)][eqn: =2+2][eqn: =4]

[참고]

[eqn: 180`]을 소인수분해하는 방법은 다음과 같다.

[eqn: 2]	[eqn: 180]

[eqn: 2]	[eqn: 90]

[eqn: 3]	[eqn: 45]

[eqn: 3]	[eqn: 15]

	[eqn: 5]

[eqn: 180 = 2 times 2 times 3 times 3 times 5][eqn: = 2^{`2} times 3^{`2} times 5]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

10. [eqn: rm A] 고등학교 학생 [eqn: 200`]명과 [eqn: rm B] 고등학교 학생 [eqn: 300`]명의 하루 평균 수면 시간을 조사한 상대도수의 그래프가 그림과 같다.

두 고등학교 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]에서 조사한 학생들 중 하루 평균 수면 시간이 [eqn: 7`]시간 이상 [eqn: 8`]시간 미만인 학생 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b`]라
할 때, [eqn: a-b`]의 값은? [3점]

[출제의도] 상대도수의 그래프를 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

하루 평균 수면 시간이 [eqn: 7`]시간 이상 [eqn: 8`]시간 미만인 계급의 상대도수는 [eqn: rm A] 고등학교, [eqn: rm B] 고등학교 모두 [eqn: 0.3`]이고 조사한 학생 수는 각각 [eqn: 200], [eqn: 300`]이므로

[eqn: a= 200 times 0.3=60]

[eqn: b=300 times 0.3=90]

따라서 [eqn: a-b=60-90=it-30]

① [eqn: -30]	② [eqn: -15]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 30]

11. 그림과 같이 삼각형 [eqn: \ABC`]의 꼭짓점 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C`]에서 직선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \D], [eqn: \E], [eqn: \F`]라 할 때, [eqn: bar{\AD} =bar{\CF} =4], [eqn: bar{\BE} =6`]이다. 삼각형 [eqn: \ABC`]를 직선 [eqn: l`]을 회전축으로 하여 [eqn: 1`]회전시킬 때 생기는 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이의 최댓값은? [3점]

[출제의도] 회전체의 모양을 추측하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

오각형 [eqn: rm FDABC`]를 직선 [eqn: l`]을 회전축으로 하여 [eqn: 1`]회전시킬 때 생기는 회전체는 [그림 [eqn: 1]]과 같다.

[그림 [eqn: 1]]

사각형 [eqn: rm FDAC`]를 직선 [eqn: l`]을 회전축으로 하여 [eqn: 1`]회전 시킬 때 생기는 회전체는 [그림 [eqn: 2]]와 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원기둥이다.

[그림 [eqn: 2]]

삼각형 [eqn: rm ABC`]를 직선 [eqn: l`]을 회전축으로 하여 [eqn: 1`]회전시킬 때 생기는 회전체는 [그림 [eqn: 1]]의 입체도형에서 [그림 [eqn: 2]]의 원기둥을 제외시킨 입체도형으로 [그림 [eqn: 3]]과 같다.

[그림 [eqn: 3]]

이를 회전축 [eqn: l`]에 수직인 평면으로 자른 단면은 [그림 [eqn: 4]]와 같다.

[그림 [eqn: 4]]

[그림 [eqn: 4]]의 안쪽 원의 반지름의 길이는 [eqn: 4`]이며

넓이는 [eqn: 16`pi`]이다.

한편 [eqn: bar{\BE} =6`]이므로 바깥쪽 원의 반지름의 길이는

[eqn: 4`]보다 크고 [eqn: 6`]보다 작거나 같다.

그러므로 바깥쪽 원의 넓이의 최댓값은 반지름의

길이가 [eqn: 6`]일 때 [eqn: 36 `pi`]이다.

따라서 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른

단면의 넓이의 최댓값은

[eqn: 36`pi - 16`pi =20`pi]

① [eqn: 14`pi]	② [eqn: 16 `pi]	③ [eqn: 18 `pi]	④ [eqn: 20 `pi]	⑤ [eqn: 22` pi]

12. 그림과 같이 [eqn: {bar{rmAB}} `= {bar{rmAC}} `]인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC`]의 꼭짓점 [eqn: \C`]에서 변 [eqn: \AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하자. [eqn: bar{\AH} : bar{\HB} =3:2`]
일 때, 삼각형 [eqn: \BCH`]에서 [eqn: tan ` B `]의 값은? [3점]

[출제의도] 피타고라스 정리를 이용하여 삼각비의 값을 구한다.

삼각형 [eqn: rmABC`]에서 [eqn: {bar{rm AH it}} : {bar{rm HB it}} =3:2`]이므로

양수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: {bar{rm AH it}} =3k], [eqn: {bar{rm HB it}} =2k`]라 하면

[eqn: {bar{rm AC it}}][eqn: = {bar{rm AB it}}][eqn: = {bar{rm AH it}} + {bar{rm HB it}}][eqn: =5k]

직각삼각형 [eqn: rmAHC`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: {bar{rm AC it}} ^{`2} = {bar{rm AH it}} ^{`2} + {bar{rm HC it}} ^{`2}]이므로

[eqn: LEFT ( 5k RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 3k RIGHT ) ^{2} + {bar{rm HC it}} ^{2} `]

[eqn: {bar{\HC}}^2 = (5k)^2 - (3k)^2][eqn: = 16k^2]

[eqn: {bar{rm HC it}} =4k`]

따라서 직각삼각형 [eqn: \BCH`]에서

[eqn: tan`B= {{bar{rm HC it}}} over {{bar{rm HB it}}}][eqn: = {4k} over {2k}][eqn: =2`]

① [eqn: 2]	② [eqn: 9 over 4]	③ [eqn: 5 over 2]	④ [eqn: 11 over 4]	⑤ [eqn: 3]

13. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 여러 개의 정사각형으로 이루어진 도형이 있다. 한 개의 주사위를 두 번 던져 첫 번째 나온 눈의 수의 길이만큼 점 [eqn: rmA`]에서 오른쪽 방향으로 이동한 점을 [eqn: rmB`]라 하고, 두 번째 나온 눈의 수의 길이만큼 점 [eqn: rmB`]에서 위쪽 방향으로 이동한 점을 [eqn: rmC`]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이가
[eqn: 15`] 이상이 될 확률은? [3점]

[출제의도] 확률의 뜻을 이해하여 실생활 문제를 해결한다.

한 개의 주사위를 두 번 던져 첫 번째 나온 눈의 수를 [eqn: a], 두 번째 나온 눈의 수를 [eqn: b`]라 하면 삼각형 [eqn: rmABC`]는 밑변의 길이가 [eqn: a], 높이가 [eqn: b`]인 직각삼각형이므로 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES a TIMES b= {1} over {2} ab`]

직각삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이가 [eqn: 15] 이상이기 위해서는 [eqn: ab]의 값이 [eqn: 30`] 이상이어야 한다.

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )] [eqn: a=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4`]일 때, [eqn: ab`]의 값이 [eqn: 30`] 이상이 되는
[eqn: b`]의 값은 존재하지 않는다.

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )] [eqn: a=5`]일 때, [eqn: b=6`]이면 [eqn: ab=30`]이므로 가능한
경우의 수는 [eqn: 1`]

[eqn: LEFT ( ⅲ RIGHT )] [eqn: a=6`]일 때, [eqn: b=5]이면 [eqn: ab=30`]이고 [eqn: b=6`]이면
[eqn: ab=36`]이므로 가능한 경우의 수는 [eqn: 2`]

그러므로 [eqn: ab`]의 값이 [eqn: 30`] 이상인 순서쌍 [eqn: (a,``b)`]의 경우의 수는 [eqn: 1+2][eqn: =3]

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 6 times 6= 36`]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {3} over {36} = {1} over {12}]

[다른 풀이]

한 개의 주사위를 두 번 던져 첫 번째 나온 눈의 수를 [eqn: a], 두 번째 나온 눈의 수를 [eqn: b`]라 할 때, 주사위를 두 번 던져서 나올 수 있는 모든 경우를 순서쌍으로 나타내면 다음 표와 같다.

[eqn: b] [eqn: a`]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]
[eqn: 1]	[eqn: (1,``1)]	[eqn: (1,``2)]	[eqn: (1,``3)]	[eqn: (1,``4)]	[eqn: (1,``5)]	[eqn: (1,``6)]
[eqn: 2]	[eqn: (2,``1)]	[eqn: (2,``2)]	[eqn: (2,``3)]	[eqn: (2,``4)]	[eqn: (2,``5)]	[eqn: (2,``6)]
[eqn: 3]	[eqn: (3,``1)]	[eqn: (3,``2)]	[eqn: (3,``3)]	[eqn: (3,``4)]	[eqn: (3,``5)]	[eqn: (3,``6)]
[eqn: 4]	[eqn: (4,``1)]	[eqn: (4,``2)]	[eqn: (4,``3)]	[eqn: (4,``4)]	[eqn: (4,``5)]	[eqn: (4,``6)]
[eqn: 5]	[eqn: (5,``1)]	[eqn: (5,``2)]	[eqn: (5,``3)]	[eqn: (5,``4)]	[eqn: (5,``5)]	[eqn: (5,``6)]
[eqn: 6]	[eqn: (6,``1)]	[eqn: (6,``2)]	[eqn: (6,``3)]	[eqn: (6,``4)]	[eqn: (6,``5)]	[eqn: (6,``6)]

이 중에서 [eqn: ab`]의 값이 [eqn: 30`] 이상인 경우는 다음과 같다.

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )] [eqn: ab=30`]인 경우
[eqn: (5,``6)], [eqn: (6,``5)]

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )] [eqn: ab=36`]인 경우
[eqn: (6,``6)]

그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 3`]

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 6 times 6= 36`]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 3 over36`][eqn: = 1 over12`]

① [eqn: 1 over 36]	② [eqn: 1 over 18]	③ [eqn: 1 over 12]	④ [eqn: 1 over 9]	⑤ [eqn: 5 over 36]

14. 그림과 같이 원 위의 세 점 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C`]와 원 밖의 한 점 [eqn: \P`]에 대하여 직선 [eqn: \PC`]는 원의 접선이고 세 점 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \P`]는 한 직선 위에 있다. [eqn: bar{\AB} = bar{\AC`}], [eqn: angle {\APC} = 42 ° `]일 때, [eqn: angle {\CAB}`]의 크기는?

[4점]

[출제의도] 원주각의 성질을 이용하여 각의 크기를 구한다.

원의 중심을 [eqn: \O], [eqn: ANGLE rm CAB= it x° `]라 하면

원주각의 성질에 의해

[eqn: ANGLE rm COB it =2 ANGLE rm CAB it =2x°]

삼각형 [eqn: \OBC`]는 이등변삼각형이므로

[eqn: angle {\OBC}][eqn: = angle{\OCB}][eqn: = {1} over {2} (180°-2x°)][eqn: = 90°-x°]

원의 접선은 그 접점을 한 끝점으로 하는 반지름에 수직이므로 [eqn: bar{\PC} bot bar{\OC}]

[eqn: angle{\BCP}][eqn: = 90° - angle{\OCB}]
[eqn: =90° -(90°-x°)]
[eqn: = x°]

삼각형 [eqn: \\BPC`]에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로

[eqn: ANGLE rm ABC][eqn: = it (x+42)°]

삼각형 [eqn: \ABC`]는 [eqn: BAR{\AB} = bar{\AC}`]인 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLE rm ACB][eqn: = ANGLE rm ABC][eqn: = it (x+42)° `]

삼각형 [eqn: \ABC`]의 내각의 크기의 합은 [eqn: 180°]이므로

[eqn: x°+LEFT ( x+42 RIGHT ) °+LEFT ( x+42 RIGHT ) °=180°]

따라서 [eqn: x°=32°]

[다른 풀이]

[eqn: ANGLE rm CAB`= it x°], [eqn: ANGLE rm ABC`= it y° `]라 하면

위의 풀이에서 [eqn: ANGLE rm PCB][eqn: = it ANGLE rm CAB][eqn: = it x°`]

삼각형 [eqn: \ABC`]는 [eqn: BAR{\AB} = bar{\AC}`]인 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLE rm ACB`= it y`°]

삼각형 [eqn: \ABC`]의 내각의 크기의 합은 [eqn: 180°]이므로

[eqn: x°+2y°=180°] …… ㉠

삼각형 [eqn: rm APC`]의 내각의 크기의 합은 [eqn: 180°]이므로

[eqn: x°+x°+y°+42°=180°]

[eqn: 2x°+y°=138°]	…… ㉡

㉡[eqn: times2][eqn: -]㉠을 하면

[eqn: 3x° = 96°]

따라서 [eqn: x°=32°]

① [eqn: 24°]	② [eqn: 26°]	③ [eqn: 28°]	④ [eqn: 30°]	⑤ [eqn: 32°]

15. 그림과 같이 [eqn: rm ANGLE B= ANGLE C=90° `]인 사다리꼴 [eqn: \ABCD`]의 넓이가 [eqn: 36`]이다. 변 [eqn: \BC`]의 중점 [eqn: \M`]에서 변 [eqn: \AD`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 할 때, [eqn: bar{\BM} = bar{\MH}][eqn: =4`]이다. 선분 [eqn: \AD`]의 길이는? [4점]

[출제의도] 삼각형의 합동을 이해하여 주어진 선분의 길이를 구한다.

두 직각삼각형 [eqn: rm ABM`], [eqn: rm AHM`]에서

[eqn: ANGLE rmABM= ANGLE AHM=90°], [eqn: {bar{rm BM it}} = {bar{rm HM it}}], [eqn: {bar{rm AM it}}`]은 공통이므로

[eqn: TRIANGLE rmABM == TRIANGLE AHM]

두 직각삼각형 [eqn: rm MCD`], [eqn: rm MHD`]에서

[eqn: ANGLE rm MCD= ANGLE MHD=90°], [eqn: {bar{rm CM it}} = {bar{rm HM it}}], [eqn: {bar{rm DM it}}`]은 공통이므로

[eqn: TRIANGLE rm MCD == TRIANGLE MHD]

그러므로 [eqn: rm □ABCD][eqn: =2 rm TRIANGLE AHM+2 rm TRIANGLE MHD]

[eqn: rm TRIANGLE AHM`][eqn: = 1 over 2 times 4 times bar{\AH}][eqn: =2bar{\AH}]

[eqn: rm TRIANGLE MHD`][eqn: = 1 over 2 times 4 times bar{\HD}][eqn: =2bar{\HD}`]이므로

[eqn: rm □ABCD][eqn: =2 times 2bar{\AH} + 2 times 2bar{\HD}]
[eqn: =4(bar{\AH} + bar{\HD})]
[eqn: = 4 bar{\AD}]
[eqn: =36]

따라서 [eqn: bar {rm AD}`][eqn: = 9]

[다른 풀이]

[eqn: bar\BM=bar\MH], [eqn: bar\AD BOT bar\MH`]이므로 선분 [eqn: rmBC`]를 지름으로 하는 반원은 점 [eqn: rmH]에서 선분 [eqn: rmAD]와 접한다.

선분 [eqn: rmAB,~AD,~DC]는 모두 이 반원의 접선이므로

[eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm AH it}}], [eqn: {bar{rm DC it}} = {bar{rm DH it}}]

사다리꼴 [eqn: \ABCD`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( {bar{rm AB}} + {bar{rm CD}} RIGHT ) TIMES {bar{rm BC}}][eqn: =36`]

[eqn: {bar{rmBC}} =8`]이므로 [eqn: {bar{rm AB it}} + {bar{rm CD it}} =9`]

따라서 [eqn: bar{\AD}][eqn: ={bar{rm AH it}} + {bar{rm HD it}}][eqn: = {bar{rm AB it}} + {bar{rm CD it}}][eqn: =9]

[참고]

두 삼각형은 다음 각 경우에 서로 합동이다.

① 세 쌍의 대응변의 길이가 각각 같을 때

② 두 쌍의 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인
각의 크기가 같을 때

③ 한 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의
크기가 각각 같을 때

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

16. 그림과 같이 평행사변형 [eqn: rmABCD`]에서 [eqn: rmangle \A]의 이등분선이
변 [eqn: rm BC`]와 만나는 점을 [eqn: rm E`], 변 [eqn: rmDC`]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: rm F`]라 하자.

다음은 [eqn: {bar{rm AB it}} `:` {bar{rm AD it}} =2`:`3`]이고 평행사변형 [eqn: rmABCD`]의 넓이가 [eqn: 30`]
일 때, 삼각형 [eqn: rm BFE`]의 넓이를 구하는 과정이다.

[eqn: {bar{rm AB it}}`□`bar{\DF}`]이므로 [eqn: rm ANGLE DFA= ANGLE BAF]
그러므로 삼각형 [eqn: rm DAF`]는 [eqn: {bar{rm DA it}} = {bar{rm DF it}} `]인 이등변삼각형이다.

[eqn: {bar{rm CF it}} = {bar{rm DF it}} - {bar{rm DC it}}][eqn: = {bar{rm DA it}} - {bar{rm AB it}}]이므로

[eqn: {bar{rm CF it}} = {BOX{```(가)```}} ` TIMES {bar{rm AB it}}]

[eqn: rm TRIANGLE ABE`□`triangleFCE`]이므로

[eqn: {bar{rm EF it}} = {BOX{```(나)```}} ` TIMES ` {bar{rm AF it}} `]

[eqn: {bar{rm AB it}}`□`bar{\DF}`]이므로 삼각형 [eqn: rm ABF`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm ABD`]의 넓이와 같다.

따라서 삼각형 [eqn: rm BFE`]의 넓이는 [eqn: {BOX{```(다)```}} `]이다.

위의 (가), (나), (다)에 들어갈 알맞은 수를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]라 할 때, [eqn: abc`]의 값은? [4점]

[출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 삼각형의 넓이 구하는 과정을 추론한다.

[eqn: {bar{rm AB it}}`□`{bar{rm DF it}}`]이므로 [eqn: ANGLE \DFA= ANGLE \BAF]

그러므로 삼각형 [eqn: rm DAF`]는 [eqn: {bar{rm DA it}} = {bar{rm DF it}} `]인 이등변삼각형이다.

[eqn: {bar{rm AB it}} `:` {bar{rm AD it}} =2`:`3`]이므로 양수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: {bar{rm AB it}} =2`k`], [eqn: {bar{rm AD it}} =3`k`]라 하면

[eqn: {bar{rm CF it}} = {bar{rm DF it}} - {bar{rm DC it}}][eqn: = {bar{rm DA it}} - {bar{rm AB it}}][eqn: =k`]이므로

[eqn: {bar{rm CF it}} = {BOX{``` {1} over {2} ```}} ` TIMES {bar{rm AB it}}]

[eqn: rm TRIANGLE ABE`□`triangleFCE`]이므로

닮음비가 [eqn: {bar{rm AB it}} `:` {bar{rm FC it}} `=`2`:`1`]

즉, [eqn: {bar{rm AE it}} `:` {bar{rm FE it}} ``=`2`:`1`]

그러므로 [eqn: {bar{rm EF it}} = {BOX{``` {1} over {3} ```}} ` TIMES ` {bar{rm AF it}} `]

두 삼각형 [eqn: rm ABF`]와 [eqn: rm ABD`]의 밑변 [eqn: \AB`]는 공통이고

선분 [eqn: \AB`]와 [eqn: \DF`]는 평행하므로 높이가 같다.

그러므로 두 삼각형 [eqn: rm ABF`]와 [eqn: rm ABD`]의 넓이는 같다.

[eqn: rm TRIANGLE ABD= {1} over {2} □ rm ABCD][eqn: = {1} over {2} TIMES 30][eqn: =15`]

그러므로 [eqn: rm TRIANGLE ABF=15`]

[eqn: {bar{rm EF it}} = {1} over {3} {bar{rm AF it}} `]이므로 삼각형 [eqn: rm BFE`]의 넓이는 [eqn: {1} over {3} times15][eqn: =][eqn: {BOX{```5```}} `]

이다.

따라서 [eqn: a= {1} over {2} `], [eqn: b= {1} over {3} `], [eqn: c=5`]이므로 [eqn: a`b`c= {5} over {6}]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 2 over 3]	④ [eqn: 5 over 6]	⑤ [eqn: 1]

17. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: rootna `]가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 [eqn: a`]를 [eqn: f(n)`]이라 하자. 예를 들면 [eqn: f(3)=3], [eqn: f(4)=1`]이다. [eqn: f(n)=2`]인 [eqn: 300] 이하의 자연수 [eqn: n`]의 개수는? [4점]

[출제의도] 제곱근의 값을 이용하여 자연수의 개수 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f(n)=2`]는 [eqn: root na`]가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 [eqn: a`]가 [eqn: 2`]라는 의미이다.

즉, [eqn: root2n`]이 자연수가 되어야 하므로 [eqn: 2n`]은 어떤 자연수의 제곱이다.

그러므로 [eqn: n`]은 [eqn: 2 k ^{`2} `]([eqn: k`]는 자연수)로 나타내어지는 수이다.

[eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], … 을 대입하여 [eqn: 300`] 이하의 자연수 [eqn: n`]을 구하면 다음과 같다.

[eqn: 2=2 TIMES 1 ^{`2}]

[eqn: 8=2times2 ^{`2} `]

[eqn: 18=2times3 ^{`2}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: 242=2 TIMES 11 ^{`2}]

[eqn: 288=2 TIMES 12 ^{`2} `]

따라서 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 12`]

[다른 풀이]

[eqn: f(n)=2`]는 [eqn: root na`]가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 [eqn: a`]가 [eqn: 2`]라는 의미이다.

즉, [eqn: root2n`]이 자연수가 되어야 하므로 [eqn: 2n`]은 어떤 자연수의 제곱이다.

[eqn: n`]은 [eqn: 2 k ^{`2} `]([eqn: k`]는 자연수)로 나타내어지는 수이고 [eqn: 300`] 이하의 자연수이므로 [eqn: k^{`2}`]은 [eqn: 150`] 이하의 자연수이다.

[eqn: 12 ^{`2} =144`], [eqn: 13 ^{`2} =169`]이므로 [eqn: k^{`2}`]이 [eqn: 150`] 이하의 자연수가 되는 [eqn: k`]는 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: CDOTS `], [eqn: 11`], [eqn: 12`]

그러므로 [eqn: f` LEFT ( n RIGHT ) =2`]인 [eqn: 300`] 이하의 자연수 [eqn: n`]은

[eqn: 2`], [eqn: 8`], [eqn: 18`], [eqn: CDOTS `], [eqn: 242`], [eqn: 288`]

따라서 [eqn: 12`]개

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

18. 그림과 같이 [eqn: {bar{\AB}} =it3a], [eqn: {bar{\AC}} = 2a`]이고 [eqn: angle \C=90°`]인 직각삼각형 [eqn: rm`ABC`]가 있다. 점 [eqn: \C`]에서 변 [eqn: \AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D],
점 [eqn: rm D]에서 변 [eqn: \BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E`]라 할 때, 선분 [eqn: \DE`]의 길이가 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 값 중 가장 작은 수는? [4점]

[출제의도] 피타고라스 정리와 삼각비를 이용하여 주어진 조건에 맞는 값을 구한다.

삼각형 [eqn: \ABC`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: {bar{\BC}} ^2][eqn: = {bar{\AB}}^2 - {bar{\AC}}^2][eqn: = {(3a)^2 - (2a)^2}][eqn: = 5a^2]

[eqn: bar{\BC}][eqn: = root 5 a]

[eqn: rm angle ABC = itx °`]라 하면 삼각형 [eqn: \ABC`]에서

[eqn: cos `itx °][eqn: =bar{\BC} over bar{\AB}][eqn: = {root5 a } over 3a][eqn: = root5 over 3]

[eqn: angle \ABC + angle \BAC][eqn: = angle \ACD + angle \CAD][eqn: = 90°]

이고 [eqn: angle \BAC =angle \CAD`]이므로

[eqn: angle \ACD = angle \ABC =itx °]

삼각형 [eqn: \ADC`]에서

[eqn: cos`itx °= bar{\CD} over bar{\AC}`]이므로

[eqn: {bar{\CD}}][eqn: = {bar{\AC}}times \cos `itx °]
[eqn: = 2a cos `itx °]
[eqn: = 2it a TIMES {sqrt {5}} over {3}]
[eqn: = {2 root5 } over 3 a]

[eqn: bar{\AC}`□`bar{\DE}`]이므로 엇각의 성질에 의해

[eqn: angle \CDE = angle \DCA =itx °]

삼각형 [eqn: \CDE`]에서

[eqn: cos`itx °= bar{\DE} over bar{\CD}`]이므로

[eqn: overline\DE][eqn: = overline \CD times cos` itx °][eqn: = {2root5 } over 3 a times root5 over3][eqn: = 10 over 9 a]

따라서 [eqn: overline\DE][eqn: = 10 over 9 a `]가 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 값 중 가장 작은 수는 [eqn: 9]

[다른 풀이]

위의 풀이에서 [eqn: bar{\BC}][eqn: = root 5 a]

삼각형 [eqn: \ABC`]에서

[eqn: 1 over 2 times bar{\BC} times bar{\AC} = 1 over 2 times bar{\AB} times bar{\CD}]

[eqn: 1 over 2 times root5 a times 2 a = 1 over 2 times 3a times bar{\CD}]

[eqn: {bar{\CD}}][eqn: = {2 root5 } over 3 a]

삼각형 [eqn: \ADC`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: {bar{rm AD it}} ^{2}][eqn: = {bar{rm AC it}} ^{2} - {bar{rm CD it}} ^{2}]
[eqn: = (2a)^2 - left( {2root5} over 3 a right) ^2]
[eqn: =][eqn: 16 over 9 a^2]

[eqn: bar{\AD}][eqn: = 4 over 3 a]

[eqn: bar{\BD}][eqn: = bar{\AB} - bar{\AD}]
[eqn: =3a - 4 over 3 a]
[eqn: = 5 over 3 a]

삼각형 [eqn: \BDC`]에서

[eqn: 1 over 2 times bar{\BD} times bar{\CD} = 1 over 2 times bar{\BC} times bar{\DE}]

[eqn: 1 over 2 times 5 over 3 a times {2root5} over 3 a = 1 over 2 times root5 a times bar{\DE}]

[eqn: overline\DE][eqn: = 10 over 9 a]

따라서 [eqn: overline\DE][eqn: = 10 over 9 a `]가 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 값 중 가장 작은 수는 [eqn: 9]

[다른 풀이]

두 삼각형 [eqn: \ABC]와 [eqn: \ACD`]에서

[eqn: angle \BAC = angle CAD`]이고 [eqn: angle \ACB = angle ADC= 90°`]이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABC`□` TRIANGLE ACD`]

[eqn: bar{\AB} `:` bar{\AC}][eqn: = 3a`:`2a][eqn: = 3`:`2`]이고 두 삼각형 [eqn: \ABC`]와

[eqn: \ACD`]는 닮음이므로 [eqn: bar{\BC} `:` bar{\CD}][eqn: =bar{\AB} `:` bar{\AC}][eqn: = 3`:`2`]

위의 풀이에서 [eqn: bar{\BC}][eqn: = root 5 a]이므로

[eqn: bar{\CD}][eqn: = 2 over 3 bar{\BC}][eqn: = 2 over 3 times root5 a][eqn: = {2root5} over 3 a]

두 삼각형 [eqn: \ACD`]와 [eqn: \CDE`]에서

[eqn: angle \ACD = angle CDE`]이고 [eqn: angle \ADC = angle \CED= 90°`]이므로

[eqn: triangle \ACD□ TRIANGLE \CDE]

[eqn: bar{\AC} `:` bar{\CD}][eqn: = 2a`:`{2root5} over 3 a][eqn: = 3`:root5`]이고 두 삼각형 [eqn: \ACD`]와 [eqn: \CDE`]는 닮음이므로 [eqn: bar{\CD} : bar{\DE}][eqn: =bar{\AC} `:` bar{\CD}][eqn: = 3`:root5]

그러므로 [eqn: bar{\DE} = root5 over 3 bar{\CD}][eqn: = root5 over 3 times{2root5} over 3 a`][eqn: = 10 over 9 a]

따라서 [eqn: overline\DE][eqn: = 10 over 9 a `]가 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 값 중 가장 작은 수는 [eqn: 9]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

19. 그림과 같이 육각형 [eqn: \ABCDEF`]에서 사각형 [eqn: \BDEF`]는 둘레의 길이가 [eqn: 88`]인 직사각형이다. 네 변 [eqn: \AB], [eqn: \BC], [eqn: \CD], [eqn: \FA`]의 각각의  중점 [eqn: \P], [eqn: \Q], [eqn: \R], [eqn: \S`]에 대하여 세 선분 [eqn: \CA], [eqn: \RS], [eqn: \DF`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: bar{rm CA} `□`bar{\RS} `□`bar{\DF}]

(나) [eqn: {bar{rm CA it}} =38], [eqn: bar{\DF} = 32]

사각형 [eqn: \PQRS`]의 둘레의 길이는? [4점]

[출제의도] 삼각형의 성질을 이용하여 사각형의 둘레의 길이를 구한다.

선분 [eqn: rmCF`]와 선분 [eqn: \RS`]의 교점을 [eqn: rmT`]라 하면,

[eqn: {bar{rm RT it}} `□` {bar{rm DF it}} `]이므로 [eqn: rm TRIANGLE CRT`□` TRIANGLE CDF]

닮음비는 [eqn: bar{\CR} `:`bar{\CD} = 1`:`2`]이므로 [eqn: bar{\RT}`:` bar{\DF} = 1`:`2]

[eqn: {bar{rm RT it}} = {1} over {2} {bar{rm DF it}} `]

[eqn: {bar{rm TS it}} `□` {bar{rm CA it}} `]이므로 [eqn: rm TRIANGLE FST`□` TRIANGLE FAC]

닮음비는 [eqn: bar{\FS} `:`bar{\FA} = 1`:`2`]이므로 [eqn: bar{\TS}`:` bar{\CA} = 1`:`2]

[eqn: {bar{rm TS it}} = {1} over {2} {bar{rm CA it}} `]이므로

[eqn: {bar{rm RS it}}][eqn: = {bar{rm RT it}} + {bar{rm TS it}}]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {bar{rm DF it}} + {bar{rm CA it}} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 32+38 RIGHT )][eqn: =35`]

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해

삼각형 [eqn: \ABC`]에서 [eqn: bar{\AC} = 38`]이므로 [eqn: {bar{rm PQ it}}][eqn: = 1 over 2 {bar{rm AC it}}][eqn: = 19]

[eqn: {bar{rm BD it}} =a], [eqn: {bar{rm BF it}} =b`]라 하면

직사각형 [eqn: rmBDEF`]의 둘레의 길이는 [eqn: 2(a+b)=88]

[eqn: a+b=44]

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 [eqn: {bar{rm QR it}} = {1} over {2} {bar{rm BD it}} = {1} over {2} a]

[eqn: {bar{rm PS it}} = {1} over {2} {bar{rm BF it}} = {1} over {2} b]

따라서 사각형 [eqn: rm PQRS``]의 둘레의 길이는

[eqn: {bar{rm PQ it}} + {bar{rm QR it}} + {bar{rm RS it}} + {bar{rm PS it}} `]

[eqn: =19+ {1} over {2} a+35+ {1} over {2} b]
[eqn: =54+ {1} over {2} LEFT ( a+b RIGHT )]

[eqn: =54+22=76`]

① [eqn: 68]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 72]	④ [eqn: 74]	⑤ [eqn: 76]

20. 그림과 같이 삼각형 [eqn: \ABC`]에서 [eqn: angle \A`]의 이등분선이 변 [eqn: \BC`]와 만나는 점을 [eqn: \D`]라 할 때, [eqn: bar{\AB} = bar{\AD}`]이다. 점 [eqn: \C`]에서 선분 [eqn: \AD`]의 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: \E], 선분 [eqn: \CE`]의 연장선과 선분 [eqn: \AB`]의 연장선이 만나는 점을 [eqn: \F`]라 하자. 점 [eqn: \F`]를 지나면서 선분 [eqn: \AE`]와 평행한 직선이 선분 [eqn: \CB`]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: \G`]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[출제의도] 삼각형과 닮음의 성질을 이용하여 주어진 <보기>의 참, 거짓을 판별한다.

ㄱ. 삼각형 [eqn: {\ABD}`]는 [eqn: bar{\AB} = bar{\AD}`]인 이등변삼각형이므로 [eqn: angle{\ABD} = angle{\ADB}`]

[eqn: {bar{rm AD it}} `□` {bar{rm FG it}}]이므로 [eqn: angle {\ADB} = angle{\FGB}`] (엇각),

[eqn: angle{\ABD} = angle{\FBG}`] (맞꼭지각)

즉, [eqn: angle {\FGB} = angle {\FBG}]이므로 삼각형 [eqn: rm FBG`]는

이등변삼각형이다.

그러므로 [eqn: bar{\BF}=bar{\GF}] (참)

ㄴ. 두 삼각형 [eqn: \AFE], [eqn: \ACE`]에서

[eqn: angle{\FAE} = angle{\CAE}`] (선분 [eqn: \AE`]는 [eqn: angle \A`]의 이등분선)

[eqn: angle{\AEF} = angle{\AEC}= 90 °] ([eqn: bar {\AE} bot bar{\\CF}])

[eqn: bar\AE`]는 공통

삼각형의 합동조건에 의해 [eqn: rm TRIANGLE AFE == TRIANGLE ACE`]

그러므로 [eqn: bar{\FE}=bar{\CE}]이고 두 삼각형 [eqn: \CDE]와 [eqn: \CGF`]는

닮음비가 [eqn: 1`:`2`]인 닮음인 도형이다.

즉, [eqn: {bar{rm DE it}} = {1} over {2} {bar{rm GF it}}]이고 ㄱ에서 [eqn: bar{\BF}=bar{\GF}]

그러므로 [eqn: {bar{rm DE it}} = {1} over {2} {bar{rm BF it}}] (거짓)

ㄷ. [eqn: {bar{rm DE}} = {1} over {2} {bar{rm BF}}]이고, [eqn: {bar{rm AF it}} = {bar{rm AC it}} `]이므로

[eqn: bar{\AE}][eqn: = BAR\AD + bar {\DE}][eqn: = bar{\AB} + 1 over 2 bar{ \BF}]
[eqn: = 1 over 2 (bar\AB + bar{\AB} + bar{\BF})]
[eqn: = 1 over 2 (bar{\AB} + bar{\AF} )]

그러므로 [eqn: bar{\AE}][eqn: = 1 over 2 ({bar{\AB} + bar{\AC})] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: bar{\BF}=bar{\GF}] ㄴ. [eqn: bar{\DE} = 3 over 5 bar{\BF}`] ㄷ. [eqn: bar{\AE} = 1 over 2 left(bar{\AB} + bar{\AC}right)]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4`]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90°`]인 부채꼴 [eqn: rmOAB`]의 호 [eqn: rmAB`]를 삼등분하여, 점 [eqn: \B`]에 가까운 점을 [eqn: rmP]라 하자. 세 선분 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB], [eqn: \AP`]에 모두 접하는 원의 반지름의 길이는? [4점]

[출제의도] 삼각비를 이용하여 원의 반지름의 길이 구하는 문제를 해결한다.

세 선분 [eqn: rm OA], [eqn: rm OB], [eqn: rm AP`]에 모두 접하는 원의 중심을 점 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmC`]에서 선분 [eqn: rmOA`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하자.

점 [eqn: rm P]는 호 [eqn: rm AB`]를 삼등분한 점 중 점 [eqn: \B`]에 가까운
점이므로 [eqn: ANGLE rm AOP=60° `]이고, [eqn: {bar{rmOA}} = {bar{rmOP}} `]이므로 삼각형 [eqn: rmOAP`]는 정삼각형이다.

그러므로 [eqn: ANGLE rmOAP=60°]

선분 [eqn: rm AO`]와 선분 [eqn: rm AP`]는 점 [eqn: rm A`]에서 중심이 [eqn: \C`]인 원에 그은 접선이므로 선분 [eqn: rmAC`]는 [eqn: ANGLE rmOAP`]의 이등분선이다.

그러므로 [eqn: ANGLE rmOAC][eqn: = {1} over {2} times ANGLE rmOAP][eqn: =30°]

한편 원의 반지름의 길이를 [eqn: x`]라 하면

[eqn: {bar{rmOH}}={bar{rmCH}} =x]

[eqn: {bar{rmAH} = {bar{rmOA}} - {bar{rmOH}} =4-x]

삼각형 [eqn: rmCHA`]에서 [eqn: tan LEFT ( ANGLE rmHAC RIGHT )][eqn: =tan`30 °][eqn: = {x} over {4-x}]

[eqn: tan`30 ° = {sqrt {3}} over {3}`]이므로

[eqn: {x}over{4-x}={Sqrt3 over3}]

[eqn: 3x=4sqrt3 -sqrt3 x]

[eqn: (3+sqrt3 )x = 4sqrt3]

따라서 [eqn: x][eqn: ={4 sqrt3 }over{3+sqrt3}][eqn: ={4sqrt3 (3-sqrt3 )}over{(3+sqrt3 )(3-sqrt3 ) }]
[eqn: ={4sqrt3 (3-sqrt3 )}over{9-3}]
[eqn: ={12sqrt3 -12}over{6}]
[eqn: =2sqrt3 -2]

[다른 풀이]

선분 [eqn: rm OB]의 연장선과 선분 [eqn: rm AP`]의 연장선이 만나는

점을 [eqn: \D]라 하면 구하는 원은 삼각형 [eqn: rm DOA]의 내접원이다.

위의 풀이에서 [eqn: ANGLE rmOAP=60 °]이므로 삼각형 [eqn: \DOA`]에서

[eqn: angle rm OAD][eqn: =ANGLE rmOAP][eqn: =60°], [eqn: angle rm DOA =90° `]

그러므로 [eqn: {bar{rm DA it}}` :` {bar{rm AO it}} `:` {bar{rm OD it}}][eqn: =2`:`1`: sqrt {3}]

[eqn: bar{rm AO} =4]이므로 [eqn: bar{rm DA}=8], [eqn: bar {rm {OD}}=4sqrt3]

[eqn: triangle rm DOA][eqn: = {1 over 2}times 4 times 4sqrt3][eqn: = 8sqrt3]

구하는 원의 중심을 [eqn: rm C], 반지름의 길이를 [eqn: x`]라 하면

[eqn: TRIANGLE rm COA][eqn: = {1} over {2} TIMES 4 TIMES it x][eqn: =2x]

[eqn: TRIANGLE rm CDO][eqn: = {1} over {2} TIMES 4sqrt3 TIMES it x][eqn: =2sqrt3 x]

[eqn: TRIANGLE rm CAD][eqn: = {1} over {2} TIMES 8 TIMES it x][eqn: =4x]

이때, [eqn: triangle rmCOA+triangle rmCDO+triangle rmCAD][eqn: =triangle rm DOA`]이므로

[eqn: 2x+2sqrt3 x + 4x][eqn: = 8sqrt3]

[eqn: (6+2sqrt3 ) x =8sqrt3]

[eqn: (3+ sqrt {3} )x=4 sqrt {3}]

따라서 [eqn: x][eqn: ={4 sqrt3 }over{3+sqrt3}][eqn: ={4sqrt3 (3-sqrt3 )}over{(3+sqrt3 ) (3-sqrt3 ) }]
[eqn: ={4sqrt3 (3-sqrt3 )}over{9-3}]
[eqn: ={12sqrt3 -12}over{6}]
[eqn: =2sqrt3 -2]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: 2 sqrt {3} -2]	③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: 2 sqrt {2} -1]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3} -1]

단답형

22. [eqn: 9^{`2} TIMES LEFT ( 2 ^{`2} RIGHT ) ^{`2} ÷3 ^{`3}]의 값을 구하시오. [3점]

[출제의도] 거듭제곱의 뜻을 알고 식의 값을 계산한다.

[eqn: 9 ^{`2} TIMES LEFT ( 2 ^{`2} RIGHT ) ^{`2} ÷3 ^{`3}][eqn: =left(3^{`2} right)^{`2} TIMES LEFT ( 2 ^{`2} RIGHT ) ^{`2} ÷3 ^{`3}]
[eqn: =3 ^{`4} TIMES 2 ^{`4} ÷3 ^{`3}]
[eqn: =2 ^{`4} TIMES 3 ^{`4} ÷3 ^{`3}]
[eqn: =16 TIMES 3]
[eqn: =48]

[참고]

[eqn: m], [eqn: n`]이 자연수일 때,

① [eqn: a^{`m} times a^{`n} = a^{`m+n}]

②　[eqn: left( a^{`m} right)^{`n}][eqn: = a^{`mn}]

③　[eqn: a!=0`]일 때,

[eqn: m>n`]이면 [eqn: a^{`m} divide a^{`n} = a^{`m-n}]

[eqn: m=n`]이면 [eqn: a^{`m} divide a^{`n} =1]

[eqn: m<n`]이면 [eqn: a^{`m} divide a^{`n} = 1 over a^{`n-m}]

④　[eqn: (ab) ^{`m} = a^{`m} b^{`m}], [eqn: LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{`m} = {a ^{`m}} over {b ^{`m}}] ([eqn: b!=0])

23. 기울기가 [eqn: 4`]이고 점 [eqn: (2,``30)`]을 지나는 일차함수 그래프의 [eqn: y`]절편을 구하시오. [3점]

[출제의도] 일차함수를 이해하여 일차함수 그래프의 [eqn: boldy`]절편을 구한다.

[eqn: y`]절편을 [eqn: b`]라고 하면 기울기가 [eqn: 4`]이므로 구하는 일차함수의 식은

[eqn: y=4x+b] …… ㉠

㉠의 그래프가 점 [eqn: (2,``30)]을 지나므로

㉠에 [eqn: x=2], [eqn: y=30]을 대입하면

[eqn: 30=4 times2+b]

[eqn: b=22]

따라서 구하는 일차함수 그래프의 [eqn: y`]절편은 [eqn: 22]

24. 두 밑변의 길이가 각각 [eqn: x], [eqn: x+4`]이고 높이가 [eqn: x`]인 사다리꼴의 넓이가 [eqn: 120`]일 때, [eqn: x`]의 값을 구하시오. [3점]

[출제의도] 이차방정식을 이해하여 사다리꼴의 변의 길이를 구한다.

사다리꼴의 넓이는 [eqn: 120`]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES x TIMES LEFT { x+(x+4)RIGHT }][eqn: =120]

[eqn: {1} over {2} TIMES x TIMES (2x+4)][eqn: =120]

[eqn: x ^{`2} +2x][eqn: =120]

[eqn: x ^{`2} +2x-120=0]

[eqn: LEFT ( x+12 RIGHT ) LEFT ( x-10 RIGHT ) =0]

[eqn: x=it-12] 또는 [eqn: x=10]

[eqn: x`]는 사다리꼴의 밑변의 길이이므로 [eqn: x>0]

따라서 [eqn: x=10]

25. 그림과 같이 [eqn: rm {bar{rmAB}} =4], [eqn: rm {bar{rmBC}} =6`]인 평행사변형 [eqn: rmABCD`]의 넓이가 [eqn: 6 sqrt {11} `]이다. 점 [eqn: \A`]에서 변 [eqn: \BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 할 때, [eqn: {bar{\BH}}^2]을 구하시오. (단, [eqn: angle \B`]는 예각이다.) [3점]

[출제의도] 피타고라스 정리를 이해하고 주어진 식의 값을 구한다.

평행사변형 [eqn: \ABCD`]의 넓이는 [eqn: 6root11`]이므로

[eqn: bar{\BC} times bar{\AH}][eqn: = 6root11]

[eqn: 6 bar{\AH }][eqn: = 6root11]

[eqn: bar{\AH } = root11]

삼각형 [eqn: rm ABH`]는 직각삼각형이므로

피타고라스 정리에 의해

[eqn: {bar{rm AB it}} ^{`2} = {bar{rm BH it}} ^{`2} + {bar{rm AH it}} ^{`2}]

[eqn: 4 ^{`2} = {bar{rm BH it}} ^{`2} +( sqrt {11} ) ^{`2}]

따라서 [eqn: {bar {\BH } }^{`2} = 5]

26. 그림과 같이 세 이차함수 [eqn: y=it-x ^{`2}], [eqn: y=it-(x+2) ^{`2} +4], [eqn: y=it-(x+4) ^{`2} `]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하여 도형의 넓이를 구한다.

세 이차함수 [eqn: y=it-x ^{`2}], [eqn: y=it- LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{`2} +4], [eqn: y=it- LEFT ( x+4 RIGHT ) ^{`2} `]은 [eqn: x ^{`2}]의 계수가 모두 [eqn: -1`]이므로 세 이차함수 그래프의 폭과 모양은 서로 같다.

[eqn: (ⅰ)] [eqn: y=it- LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{`2} +4`]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
[eqn: LEFT ( -2,``4 RIGHT ) `]
[eqn: y=it- LEFT ( x+4 RIGHT ) ^{`2} `]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
[eqn: LEFT ( -4,``0 RIGHT ) `]
그러므로 [eqn: y=it- LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{`2} +4`]의 그래프는
[eqn: y=it- LEFT ( x+4 RIGHT ) ^{`2} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼 평행이동한 것이다.
그러므로 두 도형 [eqn: A`]와 [eqn: A` prime `]은 서로 합동이다.

[eqn: (ⅱ)] [eqn: y=it-x ^{`2}]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT ) `]
[eqn: y=`- LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{`2} +4`]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
[eqn: LEFT ( -2,``4 RIGHT ) `]
그러므로 [eqn: y=`- LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{`2} +4`]의 그래프는 [eqn: y=it-x ^{`2} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼 평행이동한 것이다.
그러므로 두 도형 [eqn: B`]와 [eqn: B`` prime `]은 서로 합동이다.

따라서 그림에서 구하는 넓이는 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형의 넓이와 같으므로 [eqn: 4times4=16]

[참고]

이차함수 [eqn: y=ax^2`]의 그래프는

① [eqn: y`]축을 축으로 하고, 원점을 꼭짓점으로 하는
포물선이다.

② [eqn: a>0`]이면 아래로 볼록하고, [eqn: a<0`]이면 위로
볼록하다.

③ [eqn: a`]의 절댓값이 클수록 그래프의 폭은 좁아진다.

④ [eqn: y=it -ax^2`]의 그래프와 [eqn: x`]축에 대칭이다.

[4점]

27. 그림과 같이 [eqn: bar{\AB}=10], [eqn: bar{\AC} = 24], [eqn: bar{\BC} = 26`]인 직각삼각형 [eqn: \ABC`]의 내심을 [eqn: \I`]라 하자. 점 [eqn: \I`]에서 변 [eqn: \BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H], 변 [eqn: \BC`]의 중점을 [eqn: \M`]이라 할 때, 삼각형 [eqn: \IHM`]의 넓이를 구하시오. [4점]

[출제의도] 삼각형의 내심의 성질을 이해하고 조건을 만족시키는 값을 구한다.

삼각형 [eqn: \ABC`]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면 삼각형 [eqn: \ABC`]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 times bar{\AB} times bar{\AC }][eqn: = 1 over 2 r(bar{\AB } +bar{\BC } +bar{\CA})]

[eqn: 1 over 2 times 10 times 24 = 1 over 2 r ( 10+26 +24)]

[eqn: r=4]

점 [eqn: \I`]에서 변 [eqn: rm AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm J`]라 하면

두 삼각형 [eqn: \BIH]와 [eqn: \BIJ`]에서

[eqn: bar{\IH } = bar{\IJ}], [eqn: bar{\BI}]는 공통, [eqn: rm angle H = angle J = 90°]이므로

[eqn: TRIANGLE \BIH == TRIANGLE \BIJ]

[eqn: bar{\BH }][eqn: = bar{\BJ }][eqn: = bar{\AB} -bar{\AJ}][eqn: = 10-4][eqn: =6]

[eqn: bar{\BM}][eqn: = 1 over 2 {bar\BC}][eqn: = 13]

[eqn: bar{\MH}][eqn: = bar{\BM } - bar{\BH }][eqn: = 13-6][eqn: =7]

따라서 삼각형 [eqn: rm IHM`]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 times bar{\MH} times bar{\IH }][eqn: = 1 over 2 times 7 times 4][eqn: = 14]

[다른 풀이]

위의 풀이에서 [eqn: r=4]이고 [eqn: TRIANGLE \BIH == TRIANGLE \BIJ]

[eqn: bar{\JB}][eqn: = bar{\AB} - bar{\AJ}][eqn: = 10-4][eqn: =6]

그러므로 삼각형 [eqn: rm BIJ]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm JB it}} TIMES {bar{rm IJ it}}][eqn: = {1} over {2} TIMES 6 TIMES 4][eqn: =12]

따라서 삼각형 [eqn: rm IHM]의 넓이는

[eqn: TRIANGLE rm BIM- TRIANGLE rmBIH][eqn: = TRIANGLE rm BIM- TRIANGLE rm BIJ][eqn: = {1} over {2} TIMES 13 TIMES 4-12][eqn: =14]

[다른 풀이]

위의 풀이에서 [eqn: r=4]

점 [eqn: \I]에서 변 [eqn: rm AB], 변 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 각각[eqn: rm ~J], [eqn: \K]라 하고 [eqn: bar{\HM } = x`]라 하면

[eqn: bar{\AJ} =][eqn: bar{\A\K} = 4`]이므로 [eqn: bar{\CK } = 20], [eqn: bar{\CH} = 13+x]

[eqn: bar{\CK} =bar{\CH}]이므로 [eqn: 20=13+x]에서 [eqn: x=7]

따라서 삼각형 [eqn: rm IHM]의 넓이는

[eqn: 1 over2 times bar{\MH} times bar{\IH}][eqn: = 1 over 2 times 7 times 4][eqn: = 14]

28. 그림과 같이 삼각형 [eqn: \ABC`]에서 변 [eqn: \AB`]의 중점을 [eqn: \D`], 선분 [eqn: \BD`]의 중점을 [eqn: \E], 선분 [eqn: \CD`]의 중점을 [eqn: \F]라 하자. 점 [eqn: rm D]를 지나고 변 [eqn: \BC`]에 평행한 직선이 선분 [eqn: \AF`]와 만나는 점을 [eqn: \G]라 하고,
두 선분 [eqn: \EG], [eqn: \DF`]의 교점을 [eqn: \H`]라 할 때, 삼각형 [eqn: \DBC]의 넓이는 삼각형 [eqn: \DHG`]의 넓이의 [eqn: k`]배이다. [eqn: k`]의 값을 구하시오. [4점]

[출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 두 삼각형의 넓이의 비를 구하는 문제를 해결한다.

두 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF]가 각각 선분 [eqn: rmBD,~CD]의 중점이므로,

[eqn: bar\EF `□ `bar\BC] …… ㉠

문제의 조건에서 [eqn: bar\DG `□`bar\BC]이고 ㉠이 성립하므로

[eqn: bar\EF`□`bar\DG]

두 삼각형 [eqn: \DBC], [eqn: \DEF]에서

[eqn: angle \DBC =angle DEF], [eqn: angle \DCB=angle \DFE](동위각)이므로

[eqn: triangle \DBC `□`triangleDEF]

[eqn: bar\DB `:` bar\DE =2`:`1]이므로 [eqn: triangle \DBC =4triangle DEF] …… ㉡

두 삼각형 [eqn: \ADG], [eqn: \AEF`]에서

[eqn: angle \ADG =angle AEF], [eqn: angle \AGD=angle \AFE](동위각)이므로

[eqn: triangle \ADG `□`triangleAEF]

[eqn: bar\DG` :` bar\EF =bar\AD `:`bar\AE =2`:`3]

두 삼각형 [eqn: \DHG], [eqn: \FHE`]에서

[eqn: angle \HDG =angle HFE], [eqn: angle \HGD=angle \HEF`](엇각)이므로

[eqn: triangle \DHG `□`triangleFHE]

[eqn: bar\GH `:`bar\EH][eqn: =bar\DG `:`bar\FE][eqn: =2`:`3`]이므로

[eqn: triangle \FHE = 9 over4 triangle DHG], [eqn: triangle \DEH][eqn: = 3 over2 triangle \DHG]

[eqn: triangle \DEF][eqn: =triangle \DEH + triangle \FHE]
[eqn: = 3 over2 triangle \DHG + 9 over4 triangle DHG]
[eqn: = 15 over4 triangle \DHG] …… ㉢

㉡, ㉢에 의해

[eqn: triangle \DBC][eqn: = 4 times 15over4 times triangle \DHG][eqn: =15 triangle \DHG]

삼각형 [eqn: \DBC]의 넓이는 삼각형 [eqn: \DHG]의 넓이의 [eqn: 15`]배이다.

따라서 [eqn: k=15]

[다른 풀이]

선분 [eqn: rmDG`]의 연장선이 선분 [eqn: rmAC`]와 만나는 점을 [eqn: rmI`]라 하자.
삼각형 [eqn: rmABC`]에서 점 [eqn: \D], [eqn: \I]가 각각 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]의 중점이므로 [eqn: bar\BC =2 bar\DI]
삼각형 [eqn: \ADC]에서 선분 [eqn: \DI], [eqn: \AF]는 중선이므로 두

중선의 교점인 [eqn: \G]는 삼각형 [eqn: \ADC]의 무게중심이다.
[eqn: bar\DG=a]라 하면 [eqn: bar\DI= 3over2 bar\DG][eqn: = 3over2 a]
[eqn: bar\BC =2bar\DI=3a]
삼각형 [eqn: \DBC]에서 점 [eqn: \E], [eqn: \F]가 각각 선분 [eqn: \BD], [eqn: \CD]의 중점이므로 [eqn: bar\EF = 1 over2 bar\BC = 3 over2 a], [eqn: bar\EF□bar\BC]
[eqn: bar\DG□bar\BC]이므로 [eqn: bar\DG□bar\EF]
두 삼각형 [eqn: \DHG], [eqn: \FHE`]에서

[eqn: angle \HDG=angleHFE], [eqn: angle \HGD=angleHEF](엇각)이므로
[eqn: triangle \DHG`□`triangleFHE]
[eqn: {bar{rm DH}}` :` {bar{rm FH}} = bar\DG `:`bar\FE = 2`:`3]
[eqn: bar\DH=b]라 하면 [eqn: bar\FH = 3 over2 bar\DH = 3over2 b]
[eqn: bar\DF][eqn: =bar\DH +bar\FH][eqn: = b+ 3over2 b= 5 over2 b]
[eqn: bar\DC = 2 bar\DF =5b]
[eqn: angle \HDG =angleHCB](엇각)이므로 [eqn: angle \HDG =itx ° `]라 하면

[eqn: rm TRIANGLE DHG `:`rm TRIANGLE DBC][eqn: = 1 over 2 times a timesb timessin `x ° `:` 1 over 2 times it 3a times5b times sin `x °]
[eqn: =1:15]

따라서 [eqn: k=15]

[참고]

① 닮음비: 서로 닮은 두 도형에서 대응하는
선분의 길이의 비

② 닮은 두 평면도형의 닮음비가 [eqn: m`:`n`]이면
넓이의 비는 [eqn: m^{`2}`:`n^{`2}`]이다.

③ 닮은 두 입체도형의 닮음비가 [eqn: m`:`n`]이면
부피의 비는 [eqn: m^{`3}`:`n^{`3}`]이다.

29. 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 같은 사각뿔 [eqn: rm ABCDE`]가 있다. 삼각형 [eqn: rmACD`]의 무게중심을 [eqn: rmG], 삼각형 [eqn: rmADE`]의 무게중심을 [eqn: rm G` prime `]이라 하자. 모서리 [eqn: \CD] 위의 점 [eqn: rmP]와 모서리 [eqn: \DE] 위의 점 [eqn: rmQ`]에 대하여 [eqn: {bar{rm GP it}} + {bar{rm PQ it}} + {bar{rm QG` prime it}}`]의 최솟값이 [eqn: 30(3root2 + root6 )`]일 때, 사각뿔 [eqn: rm ABCDE`]의 한 모서리의 길이를 구하시오. [4점]

[출제의도] 입체도형의 전개도를 추측하여 선분의 길이의 합의 최솟값을 구한다.

구하려는 사각뿔의 한 모서리의 길이를 [eqn: x`]라 하고,

면 [eqn: rm BCDE]의 대각선 [eqn: rm BD]와 대각선 [eqn: rm CE]의 교점을 [eqn: rm O]라 하자. 사각뿔 [eqn: \ABCDE`]의 전개도를 그리면 다음과 같다.

전개도에서 선분 [eqn: \CD`]와 선분 [eqn: \OA]의 교점을 [eqn: \R`]라 하자. 점 [eqn: \G`]는 삼각형 [eqn: \ACD`]의 무게중심이므로

[eqn: bar{\AG} : bar{\GR} = 2:1], [eqn: {bar{rm GR it}} = {1} over {3} {bar{rm AR it}}]

전개도에서

[eqn: bar{\OG }][eqn: = bar{\OR} + bar{\GR}][eqn: = bar{\OR} + 1 over 3 bar{\AR}]
[eqn: = 1 over 2 x +root3 over 2 x times 1 over 3]
[eqn: = 1 over2 x + root3 over 6 x]
[eqn: = 1 over 6 (3+root3 )x]

삼각형 [eqn: \GOG'`]은 직각이등변삼각형이므로

[eqn: bar{\GG' }][eqn: = root2 `times bar{\OG }][eqn: = root2 over 6 (3+root3 ) x]

전개도에서 [eqn: bar{\GP } +bar{\PQ }][eqn: +bar{\QG' } `]의 값이 최소가 되는

경우는 네 점 [eqn: \G], [eqn: \P], [eqn: \Q], [eqn: \G`'`]이 한 직선 위에 있을 때이다.

그러므로

[eqn: root2 over 6 (3+root3 ) x = 30(3root2 +root6 )]

[eqn: {3ROOT2 + ROOT6 } OVER 6 x = 30(3root2 + root6 )]

[eqn: 1 over 6 x = 30]

따라서 [eqn: x = 180]

30. 그림과 같이 [eqn: 1`]부터 [eqn: 8`]까지의 자연수가 적혀 있는 [eqn: 3`]개의 원판을 각각 돌려서 화살표가 가리키는 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]라
할 때, 네 자리의 자연수 [eqn: K=a TIMES 10 ^{`3} +b TIMES 10 ^{`2} +8 TIMES 10+c`]이다. [eqn: K`]의 각 자리의 숫자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 8], [eqn: c] 중 [eqn: 8`]은 [eqn: 6`]으로, [eqn: 2`]는 [eqn: 8`]로 바꾸고 나머지 숫자는 바꾸지 않고 만든 네 자리의 자연수를 [eqn: M`]이라 하자. [eqn: M=3(K+2)]일 때, [eqn: a+b+c`]의 값을 구하시오.
(단, 화살표는 경계선을 가리키지 않는다.) [4점]

[출제의도] 일차방정식을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: K+2`]에 [eqn: 3`]을 곱해서 만든 수가 여전히 네 자리의 수이므로 [eqn: a=`2`]

그러므로 [eqn: K=2 TIMES 10 ^{`3} +b TIMES 10 ^{`2} +8 TIMES 10+c`]이고

[eqn: M=8` rm {BOX{```````}} `6` rm {BOX{```````}}]이다.

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )] [eqn: c=2`]인 경우 [eqn: M=8` {BOX{```````}} `68]이고
[eqn: 3(K+2)=6 TIMES 10 ^{`3} +3b TIMES 10 ^{`2} +24 TIMES 10+12`]이므로
[eqn: M != 3(K+2)]

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )] [eqn: c=8]인 경우 [eqn: M=8 ` {BOX{```````}}` 6`6]이고
[eqn: 3(K+2)=6 TIMES `10 ^{`3} +`3b` TIMES `10 ^{`2} +`24` TIMES `10+`30`]이므로
[eqn: M != 3(K+2)]

[eqn: LEFT ( ⅲ RIGHT )] [eqn: c!=2`], [eqn: c != 8`]인 경우
[eqn: 3(c+2)=10k+c] ([eqn: k`][eqn: = 0], [eqn: 1], [eqn: 2])에서
[eqn: 2c=10k-6]이므로
[eqn: c=7]
[eqn: K=2 TIMES`10 ^{`3} +b TIMES 10 ^{`2} +8 TIMES 10+7`]에서
[eqn: 3(K+2)][eqn: =6 TIMES `10 ^{`3} +`3b` TIMES `10 ^{`2} +`24` TIMES `10+27]

[eqn: =6267+3b`times10 ^{`2}]

이고 [eqn: M=8` {BOX{```````}} `6`7`]이다.

[eqn: M=3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]가 성립하려면 [eqn: b GEQ 7`]이다.

[eqn: b=7`]인 경우 [eqn: K=2787`], [eqn: M=8767`]이므로

[eqn: M != 3(K+2)]

[eqn: b=8`]인 경우 [eqn: K=2887`], [eqn: M=8667`]이므로
[eqn: M=3(K+2)`]가 성립하여 [eqn: b=8]

따라서 [eqn: a+b+c=2+8+7][eqn: =17]

[다른 풀이]

[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT )][eqn: =3K+6]
[eqn: =3a TIMES 10 ^{3} +3b TIMES 10 ^{2} +24 TIMES 10+3c+6`]

[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 3c+6`]의 일의 자리의 숫자와 같으므로 [eqn: 3c+6`]의 일의 자리의 숫자와 [eqn: M`]의 일의 자리의 숫자를 비교해 보면 다음 표에서 [eqn: c=7]임을 알 수 있다.

[eqn: c]	[eqn: 3c+6]	[eqn: 3c+6`]의 일의 자리의 숫자	[eqn: M`]의 일의 자리의 숫자
[eqn: 1]	[eqn: 9]	[eqn: 9]	[eqn: 1]
[eqn: 2]	[eqn: 12]	[eqn: 2]	[eqn: 8]
[eqn: 3]	[eqn: 15]	[eqn: 5]	[eqn: 3]
[eqn: 4]	[eqn: 18]	[eqn: 8]	[eqn: 4]
[eqn: 5]	[eqn: 21]	[eqn: 1]	[eqn: 5]
[eqn: 6]	[eqn: 24]	[eqn: 4]	[eqn: 6]
[eqn: 7]	[eqn: 27]	[eqn: 7]	[eqn: 7]
[eqn: 8]	[eqn: 30]	[eqn: 0]	[eqn: 6]

[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT )][eqn: =3a TIMES 10 ^{`3} +3b TIMES 10 ^{`2} +24 TIMES 10+3 TIMES 7+6]
[eqn: =3a TIMES 10 ^{3} +3b TIMES 10 ^{2} +267`]
[eqn: = 3a times 10^{`3} + (3b+2 )times 10^{`2} + 6times 10 + 7]

[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]의 백의 자리의 숫자는 [eqn: 3b +2`]의 일의 자리의 숫자와 같으므로 [eqn: 3b +2`]의 일의 자리의 숫자와 [eqn: M`]의 백의 자리의 숫자를 비교해 보면 다음 표에서 [eqn: b=2] 또는 [eqn: b=4] 또는 [eqn: b=8]임을 알 수 있다.

[eqn: b]	[eqn: 3b+2]	[eqn: 3b+2]의 일의 자리의 숫자	[eqn: M`]의 백의 자리의 숫자
[eqn: 1]	[eqn: 5]	[eqn: 5]	[eqn: 1]
[eqn: 2]	[eqn: 8]	[eqn: 8]	[eqn: 8]
[eqn: 3]	[eqn: 11]	[eqn: 1]	[eqn: 3]
[eqn: 4]	[eqn: 14]	[eqn: 4]	[eqn: 4]
[eqn: 5]	[eqn: 17]	[eqn: 7]	[eqn: 5]
[eqn: 6]	[eqn: 20]	[eqn: 0]	[eqn: 6]
[eqn: 7]	[eqn: 23]	[eqn: 3]	[eqn: 7]
[eqn: 8]	[eqn: 26]	[eqn: 6]	[eqn: 6]

[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]와 [eqn: M`] 모두 네 자리의 수이고 천의 자리의 숫자가 같으므로 [eqn: a=2`]이다.

이때, [eqn: b=2`]와 [eqn: b=4`]의 경우 [eqn: M != 3(K+2)`]이고 [eqn: b=8`]인 경우 [eqn: M=3(K+2)`]이므로 [eqn: b=8`]이다.

따라서 [eqn: a+b+c = 2+8+7 = 17]

[참고]

풀이를 좀 더 상세하게 알아보자.

[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT )][eqn: =3K+6]
[eqn: =3a TIMES 10 ^{`3} +3b TIMES 10 ^{`2} +24 TIMES 10+3c+6]

[eqn: M=3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]이므로 [eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]는 네 자리의 자연수이다.

즉, [eqn: 3a`]는 한 자리의 수이므로

[eqn: a=1] 또는 [eqn: a=2] 또는 [eqn: a=3`]이다.

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )] [eqn: a=1`]인 경우
[eqn: M`]의 천의 자리의 숫자가 [eqn: 1`]이고
[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]의 천의 자리의 숫자가 [eqn: 3] 이상이므로
[eqn: M != 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )] [eqn: a=2`]인 경우
[eqn: M`]은 [eqn: K`]의 각 자리의 숫자 중 [eqn: 2`]를 [eqn: 8`]로 바꾸었으므로 [eqn: M`]의 천의 자리의 숫자는 [eqn: 8`]이고
[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]의 천의 자리의 숫자는 [eqn: 6] 이상이므로
[eqn: M=3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]가 성립할 수 있다.

[eqn: LEFT ( ⅲ RIGHT )] [eqn: a=3`]인 경우
[eqn: M`]의 천의 자리의 숫자가 [eqn: 3`]이고
[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]의 천의 자리의 숫자가 [eqn: 9`]이므로
[eqn: M!=3 LEFT ( K+2 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )], [eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )], [eqn: LEFT ( ⅲ RIGHT )]에 의해 [eqn: a=2`]이다.

그러므로 [eqn: K=2 TIMES 10 ^{`3} +b TIMES 10 ^{`2} +8 TIMES 10+c]

한편 [eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 3c+6`]의 일의 자리의 숫자와 같다.

[eqn: LEFT ( ⅳ RIGHT )] [eqn: c=2`]인 경우
[eqn: M`]은 [eqn: K`]의 각 자리의 숫자 중 [eqn: 2`]를 [eqn: 8`]로 바꾸었으므로 [eqn: M`]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 8`]이고
[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 2`]이므로
[eqn: M != 3 LEFT ( K+2 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( ⅴ RIGHT )] [eqn: c=8`]인 경우
[eqn: M`]은 [eqn: K`]의 각 자리의 숫자 중 [eqn: 8]을 [eqn: 6`]으로 바꾸었으므로 [eqn: M`]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 6`]이고
[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 0`]이므로
[eqn: M!=3 LEFT ( K+2 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( ⅵ RIGHT )] [eqn: c!=2], [eqn: c!=8`]인 경우
[eqn: M`]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: c`]이고
[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]의 일의 자리의 숫자는 [eqn: 3c+6`]의 일의 자리 숫자와 같으므로
[eqn: 3c+6=c+10k] ([eqn: k`][eqn: = 0], [eqn: 1], [eqn: 2])
[eqn: 2c=it-6+10k]
즉, [eqn: 2c`]는 [eqn: 1`]의 자리가 [eqn: 4`]인 수이다.
그러므로 [eqn: c=2`] 또는 [eqn: c=7]
그런데 [eqn: c!=2`]이므로 [eqn: c=7]

[eqn: LEFT ( ⅳ RIGHT )], [eqn: LEFT ( ⅴ RIGHT )], [eqn: LEFT ( ⅵ RIGHT )]에 의해 [eqn: c=7]

그러므로 [eqn: K=2 TIMES 10 ^{`3} +b TIMES 10 ^{`2} +8 TIMES 10+7]

[eqn: 3 LEFT ( K+2 RIGHT ) =6 TIMES 10 ^{`3} +3b TIMES 10 ^{`2} +24 TIMES 10+27]

[eqn: M=8 TIMES 10 ^{`3} +b' TIMES 10 ^{`2} +6 TIMES 10+7]

(단, [eqn: b=2`]인 경우 [eqn: b'=8], [eqn: b=8`]인 경우 [eqn: b'=6],

[eqn: b!=2], [eqn: b != 8`]인 경우 [eqn: b=b'])

[eqn: M=3 LEFT ( K+2 RIGHT ) `]이므로

[eqn: 8 TIMES 10 ^{`3} +b prime TIMES 10 ^{`2} +6 TIMES 10+7]

[eqn: =6 TIMES 10 ^{`3} +3b TIMES 10 ^{`2} +24 TIMES 10+27]

[eqn: 8067+b' TIMES 10 ^{`2} =6267+3b TIMES 10 ^{`2}]

[eqn: 1800+b' TIMES 10 ^{`2} =3b TIMES 10 ^{`2}]

[eqn: 18+b'=3b]

[eqn: LEFT ( ⅶ RIGHT )] [eqn: b=2`]인 경우
[eqn: b'=8`]이므로 [eqn: 18+b'!=3b]

[eqn: LEFT ( ⅷ RIGHT )] [eqn: b=8`]인 경우
[eqn: b'=6`]이므로 [eqn: 18+b prime =3b`]가 성립한다.

[eqn: LEFT ( ⅸ RIGHT )] [eqn: b!=2], [eqn: b!=8`]인 경우
[eqn: b=b'`]이고 [eqn: b`]는 [eqn: 1] 이상 [eqn: 8] 이하의 자연수이므로
[eqn: 18+b=3b`]을 만족하는 [eqn: b`]는 존재하지 않는다.

[eqn: LEFT ( ⅶ RIGHT )], [eqn: LEFT ( ⅷ RIGHT )], [eqn: LEFT ( ⅸ RIGHT )]에 의해 [eqn: b=8`]

[eqn: a=2], [eqn: b=8], [eqn: c=7`]이므로

[eqn: a+b+c = 2+8+7 = 17]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

정 답

1	③	2	③	3	⑤	4	④	5	②
6	④	7	①	8	③	9	②	10	①
11	④	12	①	13	③	14	⑤	15	①
16	④	17	②	18	⑤	19	⑤	20	③
21	②	22	[eqn: 48]	23	[eqn: 22]	24	[eqn: 10]	25	[eqn: 5]
26	[eqn: 16]	27	[eqn: 14]	28	[eqn: 15]	29	[eqn: 180]	30	[eqn: 17]

해 설