2019학년도 3월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

• 수학 영역 •

정 답

1	⑤	2	⑤	3	①	4	③	5	②
6	①	7	①	8	②	9	②	10	②
11	④	12	③	13	④	14	③	15	④
16	⑤	17	④	18	⑤	19	③	20	①
21	③	22	[eqn: 6]	23	[eqn: 16]	24	[eqn: 81]	25	[eqn: 72]
26	[eqn: 9]	27	[eqn: 18]	28	[eqn: 124]	29	[eqn: 13]	30	[eqn: 90]

해 설

1. [출제의도] 거듭제곱의 뜻을 알고 식의 값을 계산한다.

[eqn: {5} over {2} ÷ LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {5} over {2} ÷ {1} over {4} `]
[eqn: = {5} over {2} TIMES 4`][eqn: =10`]

2. [출제의도] 수를 계산하여 최대공약수를 구한다.

[eqn: `2 ^{2`}times 3], [eqn: 2 times 3 times 5`]에서 공통인 소인수는 [eqn: 2]와 [eqn: 3`]이다.

따라서 두 수 [eqn: `2 ^{2`}times 3], [eqn: 2 times 3 times 5`]의 최대공약수는

두 수의 공통인 소인수 [eqn: 2], [eqn: 3`]을 곱한 수이므로

최대공약수는 [eqn: 2 TIMES 3`=6]

3. [출제의도] 일차식을 계산하여 방정식의 해를 구한다.

[eqn: x+5][eqn: =3 LEFT ( x-1RIGHT ) `]

[eqn: x+5][eqn: =3x-3`]

[eqn: 2x=8`], [eqn: x=4`]

4. [출제의도] 일차함수의 그래프가 좌표축과 만나는 점의 좌표를 구한다.

일차함수 [eqn: y=2x+6`]의 그래프의 [eqn: y]절편은 [eqn: 6]이다.

[eqn: y=2x+6`]에 [eqn: y=0`]을 대입하면

[eqn: 0=2x+6], [eqn: x=it-3`]

따라서 [eqn: x`]절편과 [eqn: y`]절편의 합은

[eqn: -3+ 6=3`]

5. [출제의도] 함수의 뜻을 이해하고 상수의 값을 구한다.

함수 [eqn: y= {a} over {x} `]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 3,``4 RIGHT ) `]를 지나므로

[eqn: y= {a} over {x} `]에 [eqn: x=3`], [eqn: y=4`]를 대입하면

[eqn: 4= {a} over {3}], [eqn: a=12`]

따라서 함수 [eqn: y= {a} over {x} `]는 [eqn: y= {12} over {x} `]이다.

함수 [eqn: y= {12} over {x} `]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 6,``b RIGHT ) `]를 지나므로

[eqn: y= {12} over {x} `]에 [eqn: x=6`], [eqn: y=b`]를 대입하면

[eqn: b= {12} over {6}], [eqn: b=2`]

따라서 [eqn: a+b=14`]

6. [출제의도] 전개도로 만들어지는 입체도형의 부피를 구한다.

주어진 전개도로 만들어지는 기둥은 그림과 같이

밑면이 직각삼각형인 삼각기둥이다.

이 삼각기둥의 밑면의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 3=3`]

이 삼각기둥의 높이는 [eqn: 6`]이므로 구하는 부피는

[eqn: 3 TIMES 6=18`]

7. [출제의도] 제곱근의 성질을 이용하여 주어진 식의 값을 구한다.

[eqn: {1} over {2} -12<0`]이므로 [eqn: sqrt {LEFT ( {1} over {2} -12 RIGHT ) ^{2}} =it- LEFT ( {1} over {2} -12 RIGHT )]

[eqn: { 1} over { 2}+10>0`]이므로 [eqn: sqrt {LEFT ( {1} over {2} +10 RIGHT ) ^{2}} = {1} over {2} +10]

따라서

[eqn: sqrt {LEFT ( {1} over {2} -12 RIGHT ) ^{2}} - sqrt {LEFT ( {1} over {2} +10 RIGHT ) ^{2}} `][eqn: =it- LEFT ( {1} over {2} -12 RIGHT ) - LEFT ( {1} over {2} +10 RIGHT ) `]
[eqn: =it- {1} over {2} +12- {1} over {2} -10`]
[eqn: =1]

8. [출제의도] 직각삼각형에서 삼각비의 뜻을 이해하여 그 값을 구한다.

[eqn: rm ANGLE B=90 it `°`]인 직각삼각형 [eqn: rmABC`]에서

[eqn: sinA= {rm {bar{BC}} it} over {rm {bar{AC}} it} = {2 sqrt {2}} over {3} `]이므로

[eqn: rm {bar{AC}} `=3`]이라 하면 [eqn: rm bar BC = 2root2]이다.

피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{AC}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} + {bar{BC}} ^{2} `]에서

[eqn: {bar{rm AB it}} ^{2}][eqn: ` rm = {{bar{AC}} ^{2} - {bar{BC}} ^{2}} `]
[eqn: = {3 ^{2} - LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} `}]
[eqn: =9-8=1]

따라서 [eqn: {bar{rm AB it}} =1]

그러므로 구하는 값은

[eqn: cosA= {rm {bar{AB}} it} over {rm {bar{AC}} it} = {1} over {3}]

9. [출제의도] 편차의 성질을 이해하여 자료의 분산을 구한다.

편차의 합은 [eqn: 0`]이므로

[eqn: 1+ LEFT ( -1 RIGHT )+LEFT ( -5 RIGHT )+a+LEFT ( a+1 RIGHT )=0`]

[eqn: 2a-4=0`]

[eqn: a=2]

따라서 자료의 편차는

[eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: -5], [eqn: 2], [eqn: 3]

분산은 편차의 제곱의 평균이므로 구하는 값은

[eqn: {1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -5 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2}} over {5} = {40} over {5} =8]

10. [출제의도] 연립방정식의 해를 구한다.

[eqn: {cases{``2x+y=7``` CDOTS CDOTS ㉠ _{`}#``3x-2y=0``` CDOTS CDOTS ㉡ ^{`}}}]

[eqn: 2 TIMES ㉠+㉡`]을 하면

[eqn: 7x=14`]

[eqn: x=2`] [eqn: cdotscdots㉢`]

[eqn: ㉢`]을 [eqn: ㉠`]에 대입하면

[eqn: 4+y=7]

[eqn: y=3`] [eqn: CDOTS CDOTS ㉣`]

따라서 [eqn: ㉢], [eqn: ㉣`]에서 [eqn: a=2], [eqn: b=3`]이므로

[eqn: a+b][eqn: =2+3][eqn: =5]

[다른 풀이]

연립방정식

[eqn: {cases{``2x+y=7``` CDOTS CDOTS ㉠ _{`}#``3x-2y=0``` CDOTS CDOTS ㉡ ^{`}}}]

에서 [eqn: ㉡`]의 등식을 변형하면

[eqn: 3x=2y], [eqn: y= {3} over {2} x`]

[eqn: y= {3} over {2} x`]를 [eqn: ㉠`]에 대입하면

[eqn: 2x+ {3} over {2} x=7]

[eqn: {7} over {2} x=7`]

[eqn: x=2`] [eqn: cdotscdots㉢`]

[eqn: x=2`]를 [eqn: y= {3} over {2} x`]에 대입하면

[eqn: y=3`] [eqn: CDOTS CDOTS ㉣`]

따라서 [eqn: ㉢], [eqn: ㉣`]에서 [eqn: a=2], [eqn: b=3`]이므로

[eqn: a+b][eqn: =2+3][eqn: =5]

11. [출제의도] 주어진 상황을 이해하여 확률을 구한다.

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6`]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6`]장의 카드 중에서 [eqn: 2`]의 배수가 적혀 있는 카드는

[eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6`]의 [eqn: 3`]가지이다.

따라서 [eqn: 1`]장의 카드를 임의로 뽑을 때 [eqn: 2`]의 배수가

적혀 있는 카드가 나올 확률은

[eqn: { 3} over { 6}= { 1} over { 2}`]

또 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6`]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6`]장의 카드 중에서 [eqn: 5`]의 배수가 적혀 있는 카드는

[eqn: 5`]의 [eqn: 1`]가지이다.

따라서 [eqn: 1`]장의 카드를 임의로 뽑을 때 [eqn: 5`]의 배수가

적혀 있는 카드가 나올 확률은 [eqn: { 1} over { 6`}]이다.

이 두 사건이 동시에 일어나는 경우는 없으므로

[eqn: 1`]장의 카드를 임의로 뽑을 때, [eqn: 2`]의 배수 또는 [eqn: 5`]의 배수가 적혀 있는 카드가 나올 확률은

[eqn: {1} over {2} + {1} over {6} = {2} over {3} `]

12. [출제의도] 피타고라스 정리를 이용하여 선분의 길이를 구한다.

그림과 같이 두 점 [eqn: rmO`]와 [eqn: RMQ`]를 선분으로 연결하면

선분 [eqn: rm OQ`]의 길이는 부채꼴 [eqn: rmOAB`]의 반지름의 길이와 같으므로 [eqn: RM{bar { OQ}=8`]

선분 [eqn: RMPQ`]는 선분 [eqn: RMOA]와 수직이므로

두 삼각형 [eqn: RMOPQ]와 삼각형 [eqn: RMAQP`]는 직각삼각형이다.

한편 직각삼각형 [eqn: RM{OPQ`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{OQ}} ^{2} = rm {bar{OP}} ^{2} + rm {bar{PQ}} ^{2} `]

[eqn: RM{8 ^{2} =6 ^{2} + {bar{PQ}} ^{2}`]

[eqn: {RM{{bar{PQ}} }^{2}=8 ^{ 2}-6 ^{ 2}`]

[eqn: rm {bar{PQ}}][eqn: = sqrt {8 ^{2} -6 ^{2}}][eqn: =2 sqrt {7}`]

또 직각삼각형 [eqn: rm AQP`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{AQ}} ^{2} = rm {bar{AP}} ^{2} + rm {bar{PQ}} ^{2}]

[eqn: rm {bar{AQ}} ^{2} =2 ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {7}RIGHT ) ^{2}]

따라서 구하는 길이는

[eqn: rm {bar{AQ}}][eqn: = sqrt {4+28}]
[eqn: = sqrt {32}]
[eqn: =4 sqrt {2}]

13. [출제의도] 삼각형의 성질을 이용하여 각의 크기를 구한다.

그림과 같이 변 [eqn: RMBC`]의 중점을 [eqn: RMM]이라 하면

[eqn: {bar{rm BM it}} = {bar{rm MC it}}], [eqn: rm ANGLE PMB= rm ANGLE PMC=90 it `°], [eqn: rm bar PM]은 공통이므로

두 삼각형 [eqn: rmPBM], [eqn: rm `PCM`]은 서로 합동이다.

따라서 [eqn: rm {bar{PB}} = {bar{PC}]

[eqn: rm {bar{BP}} `]와 [eqn: {bar{rm BC it}} `]는 부채꼴 [eqn: rm BCA`]의 반지름이므로

[eqn: rm {bar{BP}} = {bar{BC}}]

따라서 [eqn: rm {bar{BP}} = {bar{BC}} = {bar{PC}} `]이므로

삼각형 [eqn: rm PBC`]는 정삼각형이다.

[eqn: rm ANGLE CPB= rm ANGLE BCP=60` it °] [eqn: CDOTSCDOTS㉠`]

[eqn: rm ANGLE PCD][eqn: = rm ANGLE BCD- rm ANGLE BCP`]
[eqn: =90°-60°]
[eqn: =30°`]

한편 사각형 [eqn: RMABCD`]는 정사각형이므로

[eqn: {bar{rm PC it}} = {bar{rm BC it}} = {bar{rm CD it}} `]

즉 삼각형 [eqn: RMCDP`]는 [eqn: rm {bar{CP}} = {bar{CD}} `]인 이등변삼각형이다.

따라서 [eqn: ANGLE rm CPD][eqn: = {1} over {2} LEFT ( 180 it °-30 it ° RIGHT )][eqn: =75it°] [eqn: CDOTSCDOTS㉡`]

[eqn: ㉠`], [eqn: ㉡`]에서

[eqn: rm ANGLE BPD][eqn: = rm ANGLE BPC+rm ANGLE CPD`]
[eqn: =60it°+75it°]
[eqn: =135it°]

14. [출제의도] 주어진 상황에 맞는 이차방정식을 세워 선분의 길이를 구한다.

두 삼각형 [eqn: rmABD`]와 삼각형 [eqn: RMSOD`]에서

[eqn: rm ANGLE DAB= rm ANGLE DSO=90 it `°], [eqn: rm ANGLE ADB`]는 공통이므로

두 삼각형 [eqn: rm `ABD`]와 삼각형 [eqn: rm SOD`]는 서로 닮음이다.

따라서 [eqn: {bar{rm AB it}} `it : {bar{rm AD it}}][eqn: = {bar{rm SO}} `it: {bar{rm SD it}}]

[eqn: RMBARAB =2], [eqn: rm {bar{BC}}= rm {bar{AD}}=4]이므로

[eqn: {bar{rm SO it}}`it : {bar{rm SD it}} =1:2`]

[eqn: {bar{rm AP it}} =x`]라 하면

[eqn: {bar{rm SO it}}][eqn: ={bar{rm AP it}}][eqn: =x`]

[eqn: {bar{rm SD it}}][eqn: =2rmbarSO][eqn: =2x`]

따라서 사각형 [eqn: rmAPOS`]의 넓이는

[eqn: rm {bar{AP}} TIMES rm {bar{AS}}][eqn: = rm {bar{AP}} TIMES LEFT ( RMBARAD -BARSD RIGHT )]
[eqn: =x TIMES LEFT ( 4-2x RIGHT )]
[eqn: =4x-2x^2 `]

사각형 [eqn: rm OQCR`]의 넓이는

[eqn: rm {bar{OQ}} TIMES rm {bar{OR}}][eqn: = LEFT ( rm {bar{SQ}} - {bar{SO}} RIGHT ) TIMES rm {bar{OR}}`]
[eqn: = LEFT ( rm {bar{AB}} - {bar{AP}} RIGHT ) TIMES rm {bar{SD}} `]
[eqn: = LEFT ( 2-x RIGHT ) TIMES 2x][eqn: =4x-2x^2 `]

조건에서 사각형 [eqn: rm APOS]의 넓이와 사각형 [eqn: RMOQCR`]의 넓이의 합이 [eqn: 3]이므로

[eqn: 4x-2x ^{2} + 4x-2x ^{2} =3]

[eqn: 4x^2 -8x+3=0]

[eqn: LEFT ( 2x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x-1 RIGHT ) =0]

[eqn: x= 3over2] 또는 [eqn: x= 1over2]

조건에서 [eqn: rm {bar{AP}} ` it < {bar{rm PB it}} `]이므로

[eqn: x<2-x], [eqn: x<1`]

따라서 [eqn: x= 1OVER2]

그러므로 [eqn: RMbarAP][eqn: = 1OVER2]

[다른 풀이]

사각형 [eqn: rm APOS]의 넓이와 사각형 [eqn: RMOQCR`]의 넓이의 합은 직사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이에서 직사각형 [eqn: rmPBQO]의 넓이와 직사각형 [eqn: RMSORD`]의 넓이를 뺀 것과 같다.

[eqn: {bar{rm AP it}} =x`]라 할 때, 직사각형 [eqn: rmPBQO]의 넓이는 다음과 같이 [eqn: x`]에 관한 식으로 나타낼 수 있다.

[eqn: rm {bar{PB}} TIMES rm {bar{PO}}][eqn: = LEFT ( rm {bar{AB}} - {bar{AP}} RIGHT ) TIMES LEFT ( rm {bar{AD}} - {bar{SD}} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 2-x RIGHT ) LEFT ( 4-2x RIGHT )]
[eqn: =2x ^{2} -8x+8`]

마찬가지로 직사각형 [eqn: rmSORD]의 넓이도 [eqn: x`]에 관한 식으로 나타낼 수 있다.

[eqn: rm {bar{SO}} TIMES rm {bar{SD}}][eqn: =rm {bar{AP}} ` TIMES rm {bar{SD}} `]
[eqn: =x times2x]
[eqn: =2x ^{2}]

조건에서 사각형 [eqn: rm APOS]의 넓이와 사각형 [eqn: RMOQCR`]의 넓이의 합이 [eqn: 3]이므로

[eqn: 8- LEFT ( 2x ^{2`} -8x+8 RIGHT ) -2x ^{2`} =3`]

[eqn: 4x^2 -8x+3=0]

[eqn: LEFT ( 2x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x-1 RIGHT ) =0]

[eqn: x= 3over2] 또는 [eqn: x= 1over2]

[eqn: x<1]이므로 [eqn: x= {1} over {2}`]

15. [출제의도] 인수분해를 이용하여 직사각형의 한 변의 길이를 추론한다.

[그림 [eqn: 1]]

[그림 [eqn: 2]]

[그림 [eqn: 1]]의 색종이를 여러 조각으로 나누어 겹치지 않게 빈틈없이 붙여서 [그림 [eqn: 2]]와 같은 모양을 만들었으므로 [그림 [eqn: 1]]의 도형의 넓이는 [그림 [eqn: 2]]의 도형의 넓이와 같아야 한다.

[그림 [eqn: 1]]에서 [eqn: RMA`]부분의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( 2x+4 RIGHT ) TIMES x`][eqn: =x(x+2)]

[그림 [eqn: 1]]에서 [eqn: RMB`]부분의 넓이는

[eqn: 2 TIMES 3=6]

[그림 [eqn: 1]]의 넓이는 한 변의 길이가 [eqn: 3x`]인 정사각형에서 [eqn: RMA`]부분과 [eqn: RMB`]부분을 뺀 부분의 넓이와 같다.

따라서 [그림 [eqn: 1]]의 도형의 넓이는

[eqn: LEFT ( 3x RIGHT ) ^{2} -x LEFT ( x+2 RIGHT ) -6][eqn: =8x ^{2} -2x-6`]
[eqn: = LEFT ( 4x+3 RIGHT ) LEFT ( 2x-2 RIGHT ) `] [eqn: cdotscdots㉠`]

[그림 [eqn: 2]]의 직사각형에서 가로의 길이를 [eqn: L`]이라 하면

이 직사각형의 넓이는

[eqn: LEFT ( 2x-2 RIGHT ) L`] [eqn: CDOTSCDOTS㉡]

[그림 [eqn: 1]]과 [그림 [eqn: 2]]의 두 넓이는 서로 같으므로

[eqn: ㉠`], [eqn: ㉡`]에서

[eqn: LEFT ( 2x-2 RIGHT ) L`][eqn: = LEFT ( 4x+3 RIGHT ) LEFT ( 2x-2 RIGHT ) `]

위 등식이 양변이 같아야 하므로

[eqn: L=4x+3`]

따라서 직사각형의 가로의 길이는 [eqn: 4x+3`]이다.

[다른 풀이]

[그림 [eqn: 1]]의 색종이를 다음과 같이 점선을 따라 잘라 내어 여섯 개의 조각으로 나눈다.

이렇게 여러 조각으로 나누어진 색종이를 다음 그림과 같이 겹치지 않게 빈틈없이 붙이면 문제의 [그림 [eqn: 2]]와 같이 세로의 길이가 [eqn: 2x-2`]인 직사각형을 만들 수 있다.

이때 가로의 길이는 [eqn: 4x+3`]이 된다.

따라서 구하는 길이는 [eqn: 4x+3`]이다.

16. [출제의도] 일차함수의 그래프의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구한다.

점 [eqn: rmC`]는 일차함수 [eqn: y= 1over2 x + 1over2`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점이므로

[eqn: y= 1over2 x + 1over2`]에 [eqn: y=0`]을 대입하면

[eqn: 0= { 1} over { 2}x+ { 1} over { 2}`]

[eqn: {1} over {2} x= it - {1} over {2}]

[eqn: x=it-1]

따라서 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: left(-1,``0right)`]

한편 두 점 [eqn: {RMA} LEFT(2,``6RIGHT)], [eqn: rm B LEFT (8,``0 RIGHT )`]을 지나는 일차함수의

그래프의 기울기는

[eqn: {0-6} over {8-2} =it-1`]

이므로 일차함수의 식을

[eqn: y=it-x+b`]라 하자.

이 직선이 점 [eqn: rmA ITLEFT ( 2,``6 RIGHT )`]을 지나므로

[eqn: x=2], [eqn: y=6`]을 대입하면

[eqn: 6=it-2+b`]

[eqn: b=8`]

따라서 두 점 [eqn: RMA], [eqn: RMB`]를 지나는 일차함수의

그래프를 나타내는 식은

[eqn: y=IT-x+8`]

점 [eqn: RMD`]는 일차함수 [eqn: y= 1over2 x + 1over2`]의 그래프와 일차함수

[eqn: y=IT-x+8]의 그래프의 교점이므로

[eqn: {1} over {2} x+ {1} over {2} =it-x+8]

[eqn: {3} over {2} x= {15} over {2}`]

[eqn: 3x=15`]

[eqn: x=5`]

이제 [eqn: y= {1} over {2} x+ {1} over {2} `]에 [eqn: x=5`]를 대입하면

[eqn: y][eqn: = {1} over {2} TIMES 5+ {1} over {2}][eqn: =3`]

따라서 점 [eqn: RMD`]의 좌표는 [eqn: (5,``3)`]

삼각형 [eqn: rm CBD`]에서 선분 [eqn: rmBC`]의 길이는

[eqn: rm {bar{BC}} =8-(-1)=9`]이고

그림과 같이 점 [eqn: RMD`]에서 변 [eqn: RM{BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: RM{H`]라 하면 [eqn: rm{bar{ DH}=3`]

따라서 삼각형 [eqn: rm CBD`]의 넓이는

[eqn: rm TRIANGLE CBD][eqn: =` {1} over {2} TIMES 9 TIMES 3]
[eqn: = 27over2`]

17. [출제의도] 삼각형의 무게중심과 평행선의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구한다.

그림과 같이 삼각형 [eqn: RMABC`]에서 꼭짓점 [eqn: rm C`]와 무게중심 [eqn: rm G`]를 지나는 직선과 변 [eqn: RMAB`]의 교점을 [eqn: RMM`]이라 하자.

점 [eqn: RMG`]는 삼각형 [eqn: RMABC`]의 무게중심이므로

[eqn: {bar{rm CG it}} : {bar{rm GM it}} =2:1`]

삼각형 [eqn: RMCGD`]와 삼각형 [eqn: rm CMB`]에서

[eqn: rm ANGLE MCB`]는 공통이고 [eqn: rm ANGLE CDG= rm ANGLE CBM=90 it `°`]이므로

두 삼각형 [eqn: RMCGD`]와 삼각형 [eqn: rm CMB`]는 서로 닮음이다.

[eqn: {bar{rm CG it}} : {bar{rm GM it}} =2:1`]이므로

[eqn: {bar{rm CG it}} : {bar{rm CM it}} = {bar{rm CG it}} :LEFT( {bar{rm CG it}} + {bar{rm GM it}}RIGHT) =2:3`]

즉 두 삼각형 [eqn: rm CGD`]와 [eqn: rm CMB`]의 닮음비는 [eqn: 2:3`]이다.

따라서 [eqn: {bar{rm CD it}} : {bar{rm CB it}} =2:3`]

그러므로 [eqn: {bar{rm BD it}} : {bar{rm DC it}} =1:2`]

두 삼각형 [eqn: rm GBD], [eqn: rm CGD`]에서 밑변을 각각 [eqn: BAR{rm BD}`]와 [eqn: BAR{rm DC}`]라 하면 높이가 [eqn: {bar{rm GD}} `]로 같고

[eqn: {bar{rm BD it}} : {bar{rm DC it}} =1:2`]이므로

[eqn: TRIANGLE rm GBD: TRIANGLE rm CGD`=1:2]

[eqn: rm TRIANGLE CGD= rm 2TIMES TRIANGLE GBD]

조건에서 삼각형 [eqn: rm GBD]의 넓이는 [eqn: 1]이므로

삼각형 [eqn: rm CGD`]의 넓이는 [eqn: 2`]이다.

삼각형 [eqn: rm BCG`]의 넓이는 두 삼각형 [eqn: rm GBD`]와 삼각형 [eqn: rm CGD`]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: rm TRIANGLE BCG=1+2][eqn: =3]

두 삼각형 [eqn: rm BCG`], [eqn: rm BGM`]에서 밑변을 각각 [eqn: BAR{rm CG}`]와 [eqn: BAR{rmGM}`]이라 하면 높이가 같고 [eqn: {bar{rm CG it}} : {bar{rm GM it}} =2:1`]이므로

[eqn: TRIANGLE rm BCG: TRIANGLE rm BGM`=2:1]

[eqn: rm TRIANGLE BCG= rm 2 TIMES TRIANGLE BGM]

[eqn: 3= rm 2 TIMES TRIANGLE BGM]

따라서 [eqn: rm TRIANGLE BGM= 3OVER2]

삼각형 [eqn: rm BCM`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm BGM`]과 삼각형 [eqn: rm BCG`]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: rm TRIANGLE BCM= {3} over {2} +3= {9} over {2}]

점 [eqn: RMG`]는 삼각형 [eqn: RMABC`]의 무게중심이므로

점 [eqn: RMM`]은 변 [eqn: RMAB`]의 중점이다.

[eqn: {bar{rm MA it}} : {bar{rm MB it}} =1:1`]

[eqn: TRIANGLE rm AMC= TRIANGLE rm BCM]

삼각형 [eqn: RMABC`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm AMC`]와 삼각형 [eqn: rm BCM`]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: rm TRIANGLE ABC][eqn: =TRIANGLE rm AMC+ TRIANGLE rm BCM]
[eqn: = {9} over {2} TIMES2][eqn: =9]

[다른 풀이]

그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rm A`]와 무게중심 [eqn: rm G`]를 지나는 직선과 변 [eqn: rm BC`]의 교점을 [eqn: rm P`]라 하고, 무게중심 [eqn: rm G`]에서 변 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ`]라 하자.

점 [eqn: RMG`]는 삼각형 [eqn: RMABC`]의 무게중심이므로 두 선분 [eqn: rm AG`]와 [eqn: rm GP`]의 길이의 비는 [eqn: 2:1`]이다.

선분 [eqn: rm QG`]와 [eqn: rmBP`]는 평행하므로 두 직각삼각형 [eqn: rmAQG`]와 [eqn: rmABP`]는 서로 닮음이고 닮음비는 [eqn: 2:3`]이다.

선분 [eqn: rmGD`]와 [eqn: rmAB`]는 평행하므로

[eqn: rm ANGLE PGD`][eqn: rm = ANGLE PAB`]

[eqn: {bar{rm AG it}} : {bar{rm GP it}} =2:1`]이므로 두 직각삼각형 [eqn: rmAQG`]와 [eqn: rmGDP`]는 서로 닮음이고 닮음비가 [eqn: 2:1`]이다.

삼각형 [eqn: rm GBD`]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm GQB`]의 넓이는

[eqn: 1]로 같고 두 삼각형 [eqn: rm GAQ`], [eqn: rm GQB`]에서 밑변을 각각 [eqn: {bar{rm AQ it}} `]와 [eqn: {bar{rm BQ it}} `]라 하면 높이가 같고

[eqn: {bar{rm AQ it}} : {bar{rm BQ it}} =2:1`]이므로

[eqn: TRIANGLE rm AQG: TRIANGLE rm GQB`=2:1]

따라서 삼각형 [eqn: rmAQG`]의 넓이는 [eqn: 2`]이다.

삼각형 [eqn: rmAQG`]와 [eqn: rmGDP`]의 닮음비가 [eqn: 2:1`]이므로

삼각형 [eqn: rmAQG`]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmGDP`]의 넓이의 비는

[eqn: 2 ^{2} :1 ^{2} =4:1`]

따라서 삼각형 [eqn: rmGDP`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} `]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm ABP`]의 넓이는 [eqn: rm 2+1+1+ {1} over {2} = {9} over {2} `]이다.

점 [eqn: rmP`]가 변 [eqn: rmBC`]의 중점이므로 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmABP`]의 넓이의 [eqn: 2`]배이다.

따라서 삼각형 [eqn: RMABC`]의 넓이는

[eqn: {9} over {2} TIMES 2=9`]

18. [출제의도] 피타고라스 정리를 이용하여 직사각형의 넓이를 구한다.

그림과 같이 점 [eqn: rm M`]에서 변 [eqn: rm AD`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm N`]이라 하자.

조건에 의해 [eqn: {bar{rm EG it}} : {bar{rm GH it}} =1:2`]이므로 점 [eqn: rm N`]은 변 [eqn: rm EF`]의 중점이 되고 선분 [eqn: rm MN`]은 사각형 [eqn: rm EGHF`]를 두 개의 합동인 정사각형으로 나눈다.

[eqn: {bar{rm AB it}} =2`]이므로 사각형 [eqn: rm ABMN`]은 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형이다.

점 [eqn: rm G`]는 이 정사각형의 대각선 [eqn: rm BN] 위에 있고,

직각삼각형 [eqn: RMBMN`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{BN}} ^{2} = rm {bar{BM}} ^{2} + rm {bar{MN}} ^{2} `]

[eqn: rm {bar{BN}} ^{2} =2^2 +2^2][eqn: =8`]

[eqn: {bar{rm BN it}}][eqn: =sqrt {8}][eqn: =2 sqrt {2} `]

[eqn: {bar{rm GN it}}][eqn: = {bar{rm BN }} - {bar{rm BG } `]
[eqn: =2 sqrt {2} -2`]

한편 사각형 [eqn: rm ABCD`]와 사각형 [eqn: rm EGHF`]는 각각 가로와 세로의 길이의 비가 [eqn: 2:1`]인 직사각형이므로 서로 닮은 도형이다.

두 사각형 [eqn: rm ABCD`]와 [eqn: rm EGHF`]의 닮음비는 선분 [eqn: rmBN`]과 선분 [eqn: RMGN`]의 길이의 비와 같으므로

[eqn: {bar{rm BN}} : {bar{rm GN it}}][eqn: =2 sqrt {2} `it:2 `LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) `]
[eqn: = sqrt {2} ` it : LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) `]

따라서 넓이의 비는

[eqn: left( sqrt {2}right ) ^{2} :left( sqrt {2} -1right) ^{2}][eqn: =2: LEFT ( 3-2 sqrt {2} RIGHT ) `]
[eqn: =1: {3-2 sqrt {2}} over {2} `]

조건에서 사각형 [eqn: rm ABCD`]의 넓이가 [eqn: 8`]이므로

구하는 사각형 [eqn: rm EGHF`]의 넓이는

[eqn: 8 TIMES {3-2 sqrt {2}} over {2} =12-8 sqrt {2} `]

19. [출제의도] 피타고라스 정리를 이용하여 삼각비를 구한다.

그림과 같이 점 [eqn: rm A`]에서 변 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E]라 하자.

또 점 [eqn: rm D`]에서 변 [eqn: rm BC`]의 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm F`]라 하자.

[eqn: rm ANGLE ABC=45`it°`]이므로 직각삼각형 [eqn: rm ABE`]는

직각이등변삼각형이고 [eqn: rm {bar{AE}} = bar BE =3]이다.

[eqn: rm ANGLE ACB=60IT`°]이므로 직각삼각형 [eqn: rm AEC`]에서

[eqn: tan`60 it `°][eqn: = rm {{bar{AE}}} over {rm {bar{CE}}}]
[eqn: = {3} over {rm {bar{CE}} it} `]

[eqn: rm {bar{CE}}][eqn: ={3} over {tan`60IT`° }]
[eqn: = 3 over root 3]
[eqn: =SQRT3]

두 선분 [eqn: RMAB`]와 [eqn: RMCD`]는 서로 평행하므로

[eqn: rm ANGLE ABE= ANGLE DCF=45 it `°] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

평행사변형에서 대변의 길이는 서로 같으므로

[eqn: rm {bar{AB}} = {bar{CD}} `] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡`]

㉠, ㉡에 의해 두 직각삼각형 [eqn: rm ABE`]와 [eqn: rm DCF`]는

합동이므로 [eqn: rm {bar{CF}} =rm {bar{DF}} =3]

따라서 직각삼각형 [eqn: rm DBF`]에서 선분 [eqn: rmBF`]의 길이는

[eqn: rm {bar{BF}}][eqn: =RM{{bar{BE}} + {bar{EC}} + {bar{CF}} `]
[eqn: =3+ sqrt {3}+3`]
[eqn: =6+ sqrt {3} `]

그러므로 구하는 값은 직각삼각형 [eqn: RMBFD`]에서

[eqn: tan( ANGLE rm CBD)][eqn: = RM{{bar{DF}}} over {{bar{BF}}} `]
[eqn: = {3} over {6+ sqrt {3}}]
[eqn: = {3 LEFT ( 6- sqrt {3} RIGHT )} over {LEFT ( 6+ sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( 6- sqrt {3} RIGHT )}]
[eqn: = {3 LEFT ( 6- sqrt {3} RIGHT )} over {36-3}]
[eqn: = {6- sqrt {3}} over {11}`]

20. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 정삼각형의 한 변의 길이를 구하는 과정을 추론한다.

두 점 [eqn: rmA], [eqn: RMB`]를 지나는 직선의 방정식을

[eqn: x=t`]라 하면

두 점 [eqn: rmA], [eqn: RMB`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: t`]이므로

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2x+1`]에 [eqn: x=t`]를 대입하여

점 [eqn: rmA`]의 좌표를 구하면 다음과 같다.

[eqn: {rmA}(t,`` t ^{ 2}-2t+1)]

마찬가지로 이차함수 [eqn: y=it- {1} over {2} x ^{2} +3x- {5} over {2} `]에 [eqn: x=t`]를 대입하여 점 [eqn: rm B`]의 좌표를 구하면 다음과 같다.

[eqn: rm B it LEFT ( t,``- {1} over {2} t ^{2} +3t- {5} over {2} RIGHT )`]

삼각형 [eqn: rm ABC`]가 정삼각형이 되기 위해서는 직선 [eqn: rmCD`]가 선분 [eqn: RMAB`]를 수직이등분해야 하므로

두 점 [eqn: rmA], [eqn: RMB`]에서 점 [eqn: rm D`]를 잇는 두 선분의 길이가

서로 같아야 한다.

따라서 [eqn: rm {bar{AD}} = {bar{BD}} `]

선분 [eqn: rm {bar{AD}} `]의 길이는

[eqn: {rmbar{AD}} =`t ^{ 2}-2t+1`]

선분 [eqn: rm {bar{BD}} `]의 길이는

[eqn: rm {bar{BD}}][eqn: =IT- LEFT ( - {1} over {2} t ^{2} +3t- {5} over {2} RIGHT )`]
[eqn: = {1} over {2} t ^{2} -3t+ {5} over {2}]

두 선분의 길이가 같아야 하므로

[eqn: t ^{2} -2t+1= {1} over {2} t ^{2} -3t+ {5} over {2}]

정리하면

[eqn: {1} over {2} t ^{2} +t- {3} over {2} =0]

양변에 [eqn: 2`]를 곱하면

[eqn: t^2 +box{~2t-3~^}][eqn: =0`]

[eqn: (t-1)(t+3)=0]

따라서 [eqn: t=1] 또는 [eqn: t=box{~-3~`^}]

(ⅰ) [eqn: t=1`]인 경우
[eqn: rm {bar{AD}} it =`1 ^{2} -2+1=0`]이므로 [eqn: bar{rmBD}=RMBARAD =0`]이 되어 삼각형이 만들어지지 않는다.
따라서 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: t=it-3`]인 경우
[eqn: rm {bar{AD}} it =`(-3) ^{2} -2 TIMES (-3)+1=16`]이므로
정삼각형 [eqn: rm ABC`]의 한 변의 길이는
[eqn: 16 TIMES 2=32`]
정삼각형 [eqn: rm ABC`]의 높이는
[eqn: {sqrt {3}} over {2} TIMES 32=16 sqrt {3}]
이때, 점 [eqn: RMC`]의 [eqn: x`]좌표는
[eqn: -3+16sqrt3] 또는 [eqn: -3-16sqrt3`]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해

양수 [eqn: k`]의 값은 [eqn: {BOX{it ^{` ^{`}} ~-3+16 sqrt {3} ~ it _{`}}}]이다.

[eqn: f(t)=2t-3], [eqn: a=it-3], [eqn: b=it-3+16 sqrt {3} `]이므로

구하는 값은

[eqn: f(a)+b][eqn: =2 TIMES (-3)-3+ LEFT (-3+16 sqrt {3} RIGHT )]
[eqn: =it-12+16 sqrt {3}]

21. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 주어진 <보기>의 참, 거짓을 추론하여 판별한다.

ㄱ. 그림과 같이 직선 [eqn: rmAB`]가 원 [eqn: O _{1} `]과 접하는 점을 [eqn: rmQ`]라 하면

직각삼각형 [eqn: rmOAQ`]에서 선분 [eqn: rmAQ`]의 길이는

[eqn: rm {bar{AQ}} ^2][eqn: = RM{{bar{OA}}} ^{2} - {rmbar{OQ}} ^{2}}]
[eqn: = {3 ^{2} -1 ^{2}} `]
[eqn: =8]

[eqn: RMbarAQ][eqn: =2SQRT2]

원의 중심 [eqn: RMO`]에서 현 [eqn: RMAB`]에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 점 [eqn: RMQ`]는 현 [eqn: rm`AB`]의 중점이다.

따라서 [eqn: {bar{rm AB][eqn: } =2 {bar{rm AQ it}}][eqn: =4 sqrt {2}`] (참)

ㄴ. 점 [eqn: rmA`]에서 현 [eqn: rmBC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR`]라 하면 선분 [eqn: rm`AR`]는 원의 중심 [eqn: rmO`]를 지난다.

삼각형 [eqn: rm ABC`]는 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AC}} `]인 이등변삼각형이고

선분 [eqn: rm`AR`]는 변 [eqn: rmBC`]를 이등분하므로

[eqn: rm {bar{BR}} = {bar{RC}} `]

삼각형 [eqn: rm AQO`]와 삼각형 [eqn: rm ARB`]에서

[eqn: rm ANGLE OQA= ANGLE BRA`][eqn: =90IT`° `]이고

[eqn: rm ANGLE OAQ`]는 공통이므로

두 삼각형 [eqn: rm AQO`]와 [eqn: rm ARB`]는 서로 닮음이다.

조건에 의해

[eqn: rm {bar{AO}} : {bar{OQ}}][eqn: =3:1][eqn: = rm{bar{AB}} : {bar{BR}} `]

[eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm AC it}}], [eqn: {bar{rm CB it}} =2 {bar{rm BR it}} `]이므로

[eqn: {bar{rm AC it}} : {bar{rm CB it}} =3:2`]이다.

삼각형 [eqn: rm ACP`]와 삼각형 [eqn: rm CBP`]에서

원주각의 성질에 의해

[eqn: rm ` ANGLE C`AP= ANGLE BCP`]

[eqn: rm ` ANGLE BPC`]는 공통이므로

두 삼각형 [eqn: rm ACP`]와 [eqn: rm CBP`]는 서로 닮음이다.

따라서

[eqn: rm {bar{AP}} : {bar{CP}}][eqn: = rm {bar{AC}}: {bar{CB}}][eqn: =3:2`] (거짓)

ㄷ. [eqn: rm {bar{BP}} = it `x`]라 하면

[eqn: rm {bar{AP}} =4 sqrt {2} + it x`]

두 삼각형 [eqn: rm ACP`]와 [eqn: rm CBP`]는 서로 닮음이므로

[eqn: rm ` rm {bar{CP}} : {bar{AC}} = rm {bar{BP}} : {bar{CB}} `]

[eqn: rm {bar{CP}} rm `:4 sqrt {2} it ` it =x: it `` {8 sqrt {2}} over {3}]에서

[eqn: rm {bar{CP}} = it {3} over {2} x`]

ㄴ에서 [eqn: rm {bar{AP}} it:` rm{bar{CP}} =3:`2`]이므로

[eqn: LEFT(4 sqrt {2} +x RIGHT)`:` {3} over {2} x=3:`2`]

[eqn: 8 sqrt {2} +2x= {9} over {2} x]

[eqn: x= {16 sqrt {2}} over {5} `]

따라서 [eqn: rm {bar{BP}} = {16 sqrt {2}} over {5} `] (참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

22. [출제의도] 일차식을 계산하여 식을 간단히 한다.

주어진 식을 정리하면

[eqn: 1OVER2 LEFT ( 4x+3 RIGHT )+4 LEFT ( x-1 RIGHT )`][eqn: = 2x+ 3 over 2 +4x -4 `]
[eqn: =6x- 5over 2 `]

따라서 [eqn: x`]의 계수는 [eqn: 6`]이다.

23. [출제의도] 이차방정식이 중근을 갖도록 하는 상수의 값을 계산한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -8x+a=0`]이 중근을 가지려면

이차식 [eqn: x ^{2} -8x+a`]가 완전제곱식이 되어야 한다.

[eqn: x ^{2} -8x+a`=(x-4) ^{2} -16+a]

즉, [eqn: -16+a=0`]

따라서 구하는 값은

[eqn: a=16`]

24. [출제의도] 순환소수의 표현을 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

분수 [eqn: {15} over {22}]를 소수로 나타내면

[eqn: {15} over {22}][eqn: =15 DIVIDE22]
[eqn: =0.681818181 CDOTS`]
[eqn: =0.6 {dot{8}} {dot{1}}]

따라서 [eqn: a=8], [eqn: b=1]이므로 구하는 값은

[eqn: 10`a+b`=10 TIMES 8+1=81]

[다른 풀이]

[eqn: x][eqn: ={15} over {22}]라 하면

[eqn: {15} over {22}][eqn: =0.6 `{dot{a`}} {dot{b`}} `]이므로

[eqn: 1000x-10x][eqn: =600+10a+b-6]

[eqn: 990x][eqn: =600+10a+b-6]

[eqn: x]에 [eqn: {15} over {22}`]를 대입하면

[eqn: 675=600+10a+b-6`]

[eqn: 10a+b=81`]

[참고]

[eqn: 0.6 {dot{a}} {dot{b}} = {6 TIMES 100+a TIMES 10+b-6} over {990} `]

[eqn: {15} over {22} =0.6 {dot{a}} {dot{b}} `]이므로

[eqn: {6 TIMES 100+a TIMES 10+b-6} over {990} = {15} over {22} `]

이 식을 정리하면

[eqn: { 6 TIMES100+a TIMES10+b } = 681`]

따라서 구하는 값은

[eqn: 10a+b`][eqn: =10 TIMES 8+1]
[eqn: =81]

25. [출제의도] 제곱근의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

[eqn: sqrt {{288} over {n}} `][eqn: = sqrt {{2 `^{5} TIMES 3`^{2}} over {n}} `]이 [eqn: 1`]보다 큰 자연수가 되도록

하려면 [eqn: {{2 `^{5} TIMES 3`^{2}} over {n}} `]이 어떤 자연수의 제곱이어야 한다.

따라서 [eqn: n`]은 [eqn: 2`^5 TIMES3`^2`]의 약수이고, [eqn: n`]의 값이 최대가

되려면 [eqn: {{2 `^{5} TIMES 3`^{2}} over {n}} `]이 어떤 자연수의 제곱인 수

중에서 최소가 되어야 한다.

[eqn: 2`^5 TIMES3`^2`]의 약수 중에서 [eqn: 1`]이 아닌 가장 작은

제곱인 수는 [eqn: 2`^2`]이므로

[eqn: {{2 `^{5} TIMES 3`^{2}} over {n}} `][eqn: =2`^2]

따라서 구하는 [eqn: {n} `]의 값은

[eqn: n][eqn: =2`^3 times 3`^2]
[eqn: =72`]

26. [출제의도] 삼각형의 내심의 성질을 이용하여 선분의 길이를 구한다.

삼각형 [eqn: rm IDE`]가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm{ {bar{ID}}}^2][eqn: = rm{ {bar{EI}} }^{2} + { {bar{DE}} }^{2}]

[eqn: 5`^2 =3`^2 +{bar{rmDE}}^2]

[eqn: rm {bar{ DE it}} ^{2}=5` ^{2} -3` ^{2}]

[eqn: rm {bar{DE}}][eqn: = sqrt {5`^{2} -3` ^{2}}`][eqn: = sqrt {16}`][eqn: =4``]

그림과 같이 두 점 [eqn: rmI`]와 [eqn: rmC`]를 연결하는 선분을 그리면

직선 [eqn: rm ID`]가 변 [eqn: rm BC`]에 평행하므로

[eqn: rm ANGLE DIC=rm ANGLE ICB`] [eqn: CDOTSCDOTS㉠`]

점 [eqn: RMI`]는 삼각형 [eqn: rmABC`]의 내심이므로

직선 [eqn: rmCI`]는 [eqn: ANGLErmC`]를 이등분한다.

즉 [eqn: rm ANGLE DCI= ANGLE ICB`] [eqn: CDOTSCDOTS㉡`]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡`]에서

[eqn: rm ANGLE DIC= rm ANGLE DCI`]

따라서 삼각형 [eqn: rm DIC`]는 이등변삼각형이므로

[eqn: {bar{rm DI it}} = {bar{rm CD it}} `=5]

따라서

[eqn: {bar{rm CE it}}][eqn: = {bar{rm CD it}} + {bar{rm DE it}}]
[eqn: =5+4`]
[eqn: =9`]

[다른 풀이]

그림과 같이 두 점 [eqn: RMD], [eqn: RMI]에서 변 [eqn: RMBC`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: RMF], [eqn: RMG`]라 하자.

[eqn: rm ANGLE IED= ANGLE DFC=90IT`°]

선분 [eqn: RMID`]와 선분 [eqn: RMBC`]는 평행하므로

[eqn: rm ANGLE EDI= ANGLE DCF`]

점 [eqn: rmI`]가 내심이므로

[eqn: bar{rmIE}=bar{rmIG}=bar{rmDF}=3`]

따라서 두 삼각형 [eqn: rmIDE`]와 [eqn: rm DCF`]는 서로 합동이므로

[eqn: rm {bar{ID}}=rm {bar{CD}} =5`]

직각삼각형 [eqn: rmIDE`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rmbarDE =4`]

따라서

[eqn: {bar{rm CE it}}][eqn: = {bar{rm DE it}} + {bar{rm CD it}}]
[eqn: =4+5`][eqn: =9`]

27. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

[eqn: y][eqn: =IT -x^2 -2x-7`]
[eqn: =IT - LEFT ( x+1 RIGHT ) ^2 -6`]

이차함수 [eqn: y=IT -x^2 -2x-7`]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( it -1,`` it -6 RIGHT ) `]이다.

따라서 점 [eqn: rmA`]의 좌표는 [eqn: LEFT (it -1,``it-6 RIGHT )`]이다.

이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: f(x)=a LEFT ( x+1 RIGHT )^2 -6 `](단, [eqn: a`]는 상수)

이라 하자.

조건 (나)에서 삼각형 [eqn: RMABC`]의 넓이가 [eqn: 12`]이고

꼭짓점의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: -6`]이므로

[eqn: 1over2 timesRM BARBC } TIMES6=12`]에서

변 [eqn: rmBC`]의 길이는 [eqn: 4`]이다.

이차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 직선 [eqn: x=it-1`]에 대하여 대칭이므로 두 점 [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]의 좌표 중에 하나는 [eqn: LEFT ( 1`,``0 RIGHT )`], 다른 하나는 [eqn: LEFT ( -3`,``0 RIGHT )`]이다.

즉, [eqn: f(1)=0`]에서

[eqn: 4a-6=0 `]

[eqn: a= { 3} over { 2}]

[eqn: f(x)= { 3} over { 2} LEFT ( x+1 RIGHT )^2 -6 `]이므로

[eqn: f(3)= 18`]

[참고]

<이차함수 [eqn: y=ax^2 `]의 그래프>

① 원점을 꼭짓점으로 하고, [eqn: y`]축을 축으로 하는 포물선이다.

② [eqn: a>0`]일 때 아래로 볼록하고, [eqn: a<0`]일 때 위로 볼록하다.

③ [eqn: a`]의 절댓값이 클수록 포물선의 폭이 좁아진다.

④ 이차함수 [eqn: y=ax^2`]의 그래프와 [eqn: y=it-ax^2`]의 그래프는 [eqn: x`]축에 대칭이다.

<이차함수 [eqn: y=a LEFT ( x-p RIGHT )^2 +q`]의 그래프>

① 이차함수 [eqn: y=ax^2`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: p`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: q`]만큼 평행이동한 것이다.

② 직선 [eqn: x=p`]를 축으로 하고, 점 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT )`]를 꼭짓점으로 하는 포물선이다.

28. [출제의도] 대푯값을 이해하여 자료를 추측하고 자료의 평균을 구한다.

자료는 각 자율 동아리의 회원의 수로 구성되어 있으므로 주어진 자료는 [eqn: 6`]개의 자연수로 이루어져 있다.

자료를 작은 값부터 크기 순서대로 나열하였을 때

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e], [eqn: f`]

가 된다고 하자.

조건 (가)에 의해

[eqn: a=8], [eqn: f=13`]

자료의 개수가 짝수이고

조건 (나)에서 중앙값은 [eqn: 10`]이므로

자료 [eqn: c`]와 [eqn: d`]의 평균이 중앙값이다.

따라서 [eqn: {c+d} over {2} =10`]에서

[eqn: c+d=20] [eqn: cdotscdots㉠`]

여기서 [eqn: c=8`], [eqn: d=12`]이거나 [eqn: c=10`], [eqn: d=10`]일 때는

최빈값이 [eqn: 9`]가 될 수 없다.

따라서 조건 (나)에 의해 [eqn: ㉠`]을 만족시키는 [eqn: c`], [eqn: d`]로 가능한 값은

[eqn: c=9], [eqn: d=11]

조건 (나)에서 최빈값은 [eqn: 9`]이므로 자료 중 [eqn: 9`]의 개수는 [eqn: 2`]이상이 되어야 한다.

따라서 [eqn: b=c=9`] [eqn: cdotscdots㉡`]

한편 [eqn: e=11] 또는 [eqn: e=13`]이면 조건 (나)에서 최빈값이 [eqn: 9`]라는 조건에 맞지 않으므로

[eqn: e=12`]

그러므로 자료의 평균 [eqn: m`]은

[eqn: m][eqn: = {8+9+9+11+12+13} over {6}`]
[eqn: = {62} over {6}`]
[eqn: = {31} over {3}`]

따라서 [eqn: 12m][eqn: = 12times 31over3][eqn: =124]

29. [출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 선분의 길이를 구하는 문제를 해결한다.

그림과 같이 점 [eqn: rmD`]를 지나고 선분 [eqn: rm AM`]과 평행한 직선이 두 선분 [eqn: rm BE`], [eqn: rmBC`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmR`], [eqn: rmS`]라 하자.

점 [eqn: rmE`]를 지나고 선분 [eqn: rmAM`]과 평행한 직선이 선분 [eqn: rmBC`]와 만나는 점을 [eqn: rmT `]라 하자.

두 점 [eqn: rm D], [eqn: rmE`]가 변 [eqn: rmAC`]를 삼등분하는 점이므로

[eqn: rm bar AD = barDE = bar EC `]이고 따라서

[eqn: rm bar MS = bar ST = bar TC `]

[eqn: rm bar BM = bar MC `]이므로

[eqn: rm bar BM : bar BS = 3 :4`]

[eqn: rm bar AM`]과 [eqn: rm bar DS`]는 서로 평행하므로

두 삼각형 [eqn: rm BMQ`]와 [eqn: rm BSR`]는 서로 닮음이고,

두 삼각형 [eqn: rm BPQ`]와 [eqn: rm BDR`]는 서로 닮음이다.

이때 닮음비는 모두 [eqn: 3:4`]이므로

[eqn: rm {bar{BQ}} : {bar{BR}} = bar PQ : barDR = 3:4`]

[eqn: rmbar PQ =1`]이므로 [eqn: rm bar DR = 4 over3`]

[eqn: rm {bar{AQ}} `]와 [eqn: rm bar{DR}} `]는 서로 평행하므로

두 삼각형 [eqn: rm AQE`]와 [eqn: rm DRE`]는 서로 닮음이다.

[eqn: rm bar AD = bar DE `]이므로 닮음비는 [eqn: 2:1`]이고

[eqn: rm barAQ = 2bar DR = 8 over 3`] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

[eqn: rm {bar{AM}} `]과 [eqn: rm {bar{ET}} `]는 서로 평행하므로

두 삼각형 [eqn: rm BMQ`]와 [eqn: rm BTE`]는 서로 닮음이다.

닮음비는 [eqn: rm bar BM : bar BT = 3:5`]이므로

[eqn: rm bar QM : bar ET = 3:5`]

[eqn: rm bar QM = itx`]라 하면 [eqn: rm bar ET = it 5over 3 x `]

[eqn: rm {bar{AM}} `]과 [eqn: rm {bar{ET}} `]는 서로 평행하므로

두 삼각형 [eqn: rm CAM`]과 [eqn: rm CET`]는 서로 닮음이다.

닮음비는 [eqn: rm {bar{CM}} :bar CT =3:1`]이므로

[eqn: rm bar AM][eqn: = 3 rmbar ET][eqn: = 3 times 5over 3 it x =5x`]

[eqn: rm bar AQ][eqn: = rm {bar{AM}} - {bar{QM}}][eqn: =4x `] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡`]

㉠, ㉡에서

[eqn: 4x= 8 over 3``], [eqn: x= 2 over3`]

따라서

[eqn: rm bar AM][eqn: =5x][eqn: = 10 over 3`]

따라서 구하는 값은

[eqn: p=3], [eqn: q=10`]이므로 [eqn: p+q=13]

[다른 풀이]

그림과 같이 두 점 [eqn: rmM`]과 [eqn: rmE`]를 선분으로 연결하면

점 [eqn: rm M]은 선분 [eqn: rm BC`]의 중점이고

점 [eqn: rm E`]는 선분 [eqn: rmCD`]의 중점이다.

삼각형의 중점연결정리에 의해

[eqn: rm bar BD `]와 [eqn: rmbar ME`]는 서로 평행이고

[eqn: rm bar ME : bar BD = 1:2 `]

삼각형 [eqn: rm AME`]에서 점 [eqn: rm D`]는 선분 [eqn: rm AE`]의 중점이므로

삼각형의 중점연결정리에 의해

점 [eqn: rm P`]는 선분 [eqn: rm AM`]의 중점이고

[eqn: rm bar PD : bar ME = 1:2`]

[eqn: rm {bar{BP}} `]와 [eqn: rmbar ME`]는 서로 평행하므로

두 삼각형 [eqn: rm BPQ`]와 [eqn: rm EMQ`]는 서로 닮음이다.

[eqn: rm bar BP : bar ME = 3:2`]이므로

[eqn: rm bar PQ : bar QM = 3:2]

[eqn: rm bar PQ = 1]이므로 [eqn: rm bar QM = 2 over 3]

그러므로 두 선분 [eqn: rm {bar{PM}}]과 [eqn: rm {bar{AM}}]의 길이는

[eqn: rm {bar{PM}}][eqn: rm= {bar{PQ}} + {bar{QM}}]
[eqn: = 1+ 2over 3 = 5over 3]

[eqn: rm {bar{AM}}][eqn: rm =2 {bar{PM}}]
[eqn: = 2 times 5 over 3 = 10 over 3]

따라서 구하는 값은

[eqn: p=3], [eqn: q= 10`]에서 [eqn: p+q= 13]

[참고]

그림과 같이 점 [eqn: rmD]를 지나고 선분 [eqn: rm BE`]에 평행한 선분을 그어 같은 방법으로 해결할 수도 있다.

30. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 선분의 길이를 구하는 문제를 해결한다.

그림과 같이 선분 [eqn: rm BF`]의 연장선이 원과 만나는 점을 [eqn: rm G], 선분 [eqn: rm OF`]의 연장선이 선분 [eqn: rm CG`]와 만나는 점을 [eqn: rm H`]라 하자.

호 [eqn: rm BC`]에 대한 원주각의 크기는 일정하므로

[eqn: rm angle BGC = angle A =60it`°`]

사각형 [eqn: rm AEFD`]의 내각의 합은 [eqn: 360it`°`]이고

[eqn: rm angle AEF = angle ADF = 90it`°`]이므로

[eqn: rm ANGLE EFD][eqn: =180it`°- ANGLE rmA`][eqn: = 180it`°-60it`°=120it`°`]

[eqn: rm ANGLE CFD=180 it `°- rm ANGLE EFD=60it`°`]

따라서 삼각형 [eqn: rm CGF`]는 정삼각형이고

[eqn: rm bar CF = bar FG`]

호 [eqn: rm BC`]에 대한 중심각의 크기는

원주각의 크기의 [eqn: 2`]배이므로

[eqn: rm ANGLE BOC=2 angle BAC=120 it`° `]

삼각형 [eqn: rm OBC`]는 이등변삼각형이므로 변 [eqn: rm BC`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 하면 직각삼각형 [eqn: rm OBM`]에서

[eqn: rm angle BOM = 1over 2 angle BOC = 60it`°]

[eqn: rm bar BM = 1over 2 bar BC = 3`]

[eqn: sin`60it`°= rm {{bar{BM}}} over {{bar{OB}}}`]

[eqn: rm {bar{OB}}][eqn: = {rm bar {BM}} over{ sin`60it`°}]
[eqn: = 3 times 2 over root3][eqn: = 2root3 `]

즉 삼각형 [eqn: rmABC`]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: 2 sqrt {3}`]이다.

두 선분 [eqn: ` rm bar OC], [eqn: rm bar OG `]는 모두 원의 반지름이므로

[eqn: rm {bar{OC}} = {bar{OG}} =2sqrt3`]

[eqn: rmbar{OF}`]는 공통이므로 삼각형 [eqn: rm OFC`]와 삼각형 [eqn: rm OFG`]는 합동이고

[eqn: rm angle COF = angle GOF]

즉 선분 [eqn: rm OH`]는 [eqn: rm angle COG`]의 이등분선이고 삼각형 [eqn: rm OCG`]는 이등변삼각형이므로

[eqn: rm angle CHO = 90it`°]

[eqn: rm bar CF =it x`]라 하면 [eqn: rm bar CH = 1 over 2 it x], [eqn: rm bar FH = root3 over 2 it x `]

직각삼각형 [eqn: rm OCH`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{OC}} ^{2} = {bar{CH}} ^{2} + {bar{OH}} ^{2}`]

[eqn: left(2 root3 right)^2 = left( 1over 2 x right)^2 + left(root3 + root3 over 2 x right)^2`]

[eqn: 12=x ^{2} +3x+3]

[eqn: x^2 +3x -9=0`]

근의 공식에 의해

[eqn: x= {-3 +- 3root 5} over {2}`]

[eqn: x>0`]이므로 [eqn: x={ -3+3root5 }over 2 `]

[eqn: a=it- {3} over {2}], [eqn: b= {3} over {2} `]

따라서 구하는 값은

[eqn: 20 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT )][eqn: =20 LEFT ( {9} over {4} + {9} over {4} RIGHT )]
[eqn: =90`]

[다른 풀이]

호 [eqn: rm BC`]에 대한 중심각의 크기는 원주각의 크기의

[eqn: 2`]배이므로

[eqn: rm ANGLE BOC=2 angle BAC=120 it`° `]

삼각형 [eqn: rmOBC`]는 이등변삼각형이고

[eqn: rm ANGLE COB=120 it`° `]이므로

삼각형 [eqn: rmABC`]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: 2 sqrt {3}`]이다.

한편 사각형 [eqn: rm AEFD`]의 내각의 합은 [eqn: 360it`°`]이고

[eqn: rm angle AEF = angle ADF = 90it`°`]이므로

[eqn: rm ANGLE EFD][eqn: =180it`°- ANGLE rmA`][eqn: = 180it`°-60it`°=120it`°`]

맞꼭지각의 크기는 같으므로

[eqn: rm angle BFC = angle EFD=120it`°`]

따라서 [eqn: rm ANGLE BFC= ANGLE BOC=120 it`° `]이고

네 점 [eqn: rm B], [eqn: rm O], [eqn: rm F], [eqn: rm C`]는 한 원 위에 있다.

한 원에서 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로

[eqn: rm angle BCO = angle BFO = 30it`°`]

점 [eqn: rm O `]에서 선분 [eqn: rm CE`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면
[eqn: rm angle OFH = 180it`°- LEFT ( 30it`°+120it`°RIGHT ) =30it`°`]

직각삼각형 [eqn: rm OHF`]에서

[eqn: rm bar HF][eqn: =rmbar OF timescos`30it`°``]
[eqn: = root 3 times root3 over 2 = 3over 2`]

[eqn: rm {bar{OH}}][eqn: =rm {bar{OF}} TIMES sin`30it`°``]
[eqn: = sqrt {3} TIMES {1} over {2} = {root3} over {2} `]

[eqn: rm bar CF =it x`]라 하면 직각삼각형 [eqn: rm OCH`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm { bar OC} ^2 = {bar OH}^2 + {bar CH }^2 `]

[eqn: left ( 2root3 right)^2 = left( root3 over 2 right)^2 + left( 3over 2 + x right)^2 `]

[eqn: 12=3+3x+x ^{2}]

[eqn: x^2 +3x -9=0`]

근의 공식에 의해

[eqn: x= {-3 +- 3root 5} over {2}`]

[eqn: x>0`]이므로 [eqn: x={ -3+3root5 }over 2 `]

[eqn: a=it- {3} over {2}], [eqn: b= {3} over {2} `]

따라서 구하는 값은

[eqn: 20 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT )][eqn: =20 LEFT ( {9} over {4} + {9} over {4} RIGHT )]
[eqn: =90`]

[다른 풀이]

삼각형 [eqn: rmOBC`]는 이등변삼각형이고

[eqn: rm ANGLE COB=120 it`° `]이므로

삼각형 [eqn: rmABC`]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: 2 sqrt {3}`]이다.

[eqn: rmANGLE CFB= ANGLE COB=120 it`°`]이므로

네 점 [eqn: rm B], [eqn: rm O], [eqn: rm F], [eqn: rm C`]는 한 원 위에 있다.

[eqn: rm angle BCO = angle BFO = 30it`°`]

선분 [eqn: rm BF`] 위에 [eqn: rm {bar{OF}} = {bar{OG`}} =root3`]이 되도록 점 [eqn: rmG`]를 잡으면 삼각형 [eqn: rm OGF`]는 이등변삼각형이므로

[eqn: rm angle GOF=180it`° -2 rm angle OFG = 120 it `°`]

[eqn: rm ANGLE BOG][eqn: =rm ANGLE BOC- rm ANGLE GOC]
[eqn: =120it`°- rm angle GOC]
[eqn: = rm angle GOF -angleGOC]
[eqn: rm =angle COF]

또 [eqn: rm bar OB = bar OC], [eqn: rm bar OG = bar OF `]이므로

두 삼각형 [eqn: rm OBG`]와 [eqn: rm OCF`]는 서로 합동이다.

따라서 [eqn: rm bar BG = bar CF `]

점 [eqn: rmO`]에서 선분 [eqn: rm BF`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면

직각삼각형 [eqn: rmOGH`]에서

[eqn: rm ANGLE OGH=30 it`°], [eqn: rm {bar{OG`}} =root3`]이므로

[eqn: rm {bar{OH`}} = {sqrt {3}} over {2}], [eqn: rm bar GH = 3over 2]

[eqn: rm bar CF ={bar{BG}} = it x`]라 하면 직각삼각형 [eqn: rm OBH`]에서

피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{OB}} ^{2} = {bar{OH}} ^{2} + {bar{BH}} ^{2} `]

[eqn: left ( 2root3 right)^2 = left( root3 over 2 right)^2 + left( 3over 2 + x right)^2 `]

[eqn: 12=3+3x+x ^{2}]

[eqn: x^2 +3x -9=0`]

근의 공식에 의해

[eqn: x= {-3 +- 3root 5} over {2}`]

[eqn: x>0`]이므로 [eqn: x={ -3+3root5 }over 2 `]

[eqn: a=it- {3} over {2}], [eqn: b= {3} over {2} `]

따라서 구하는 값은

[eqn: 20 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT )][eqn: =20 LEFT ( {9} over {4} + {9} over {4} RIGHT )]
[eqn: =90`]